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Risoluzione, delle Equazioni di terzo grado 



Nelle forinole (10) potendosi attribuire alle due quantità b , e 

 c un numero qualunque di valori tali da soddisfare alla ineguaglian- 

 za Ayb > y& , ne consegue che si possono ottenere per p, e q un 

 numero infinito di valori, per mezzo dei quali potranno formarsi 

 un numero infinito di equazioni , le di cui radici sono reali ed 

 espresse in generale dalle (9). 



La quistione però che ordinariamente si tratta di risolvere 

 non consiste nel determinare p , e q in funzione di b , e di c in 

 modo da formare equazioni di terzo grado, che abbiano le tre ra- 

 dici reali ; ma viceversa nello esprimere b, e c in funzione dei coef- 

 ficienti p, e q della (11), i quali si suppongono conosciuti. Intorno 

 a ciò osserviamo che se è molto facile di ottenere il valore di 



dedotto dalla prima delle (10), non è lo stesso rispetto alla c ; poi- 

 ché, se si volesse esprimere questa quantità in funzione di p, e di 

 q per mezzo delle medesime (10), si cadrebbe nel caso irriducibile. 

 Tuttavia volendosi applicare le formole (9) alla risoluzione delle 

 equazioni numeriche di terzo grado crediamo utile rilevare, che se 

 mediante alcuno dei vari metodi conosciuti si determina una delle 

 tre radici della (11), allora si rende facile 1' ottenere le altre due 

 per mezzo delle formole (9), le quali hanno il vantaggio di essere 

 applicabili alla determinazione delle radici commensurabili , ed in- 

 commensurabili di una data equazione di terzo grado , che consi- 

 deriamo ridotta alla forma (11) in modo, che i coefficienti p , e q 

 di essa siano numeri interi. 



Per facilitare la valutazione delle (9) esprimiamo con a la ra- 

 dice, come sopra determinata ; poniamo per brevità 



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Syb — p , \/c = a ; 



e distinguiamo il caso ; in cui a è positiva da quello , in cui essa 



