4 Sulle equazioni di equilibrio delle superfìcie flessibili e inestendibili 



Derivando la prima delle (1 , 3) rispetto a v , la seconda ri- 

 spetto ad u , confrontando i risultati ed eliminando dall' equazione 



dX 3), 



che così si ottiene, le quantità ^ , ^ per mezzo delle prime due 

 delle (I, 3) stesse, si trae : 



v du dv ' du dv 



Ciò posto, distingueremo due casi, supponendo dapprima : 



PiBt — P t Ri + -=-= — -=-*= . (4 

 du dv 



La (3) non implica alcuna limitazione rispetto alle forze ed è 

 indipendente da y-. La (4) è un' equazione a derivate parziali del 

 2° ordine rispetto alla funzione incognita p con coefficienti noti e 

 serve, essa sola, a determinare p. Poi le (2), (2') determineranno 

 X e in ultimo la (1) ci fornirà l'incognita ». Le espressioni gene- 

 rali di >., » contengono complessivamente due funzioni arbitrarie 

 delle due variabili indipendenti u, v. L' equazione (4) è lineare ri- 

 spetto alle derivate prime e seconde di ^ e solamente il termine 

 indipendente da queste quantità contiene le forze V, V ; W. 



Se un dato sistema di forze JJ } V, W applicate agli elementi 

 di una data superficie e soddisfacenti alle condizioni : 



A', = f (u, v) , K 2 = f t (u, v) , (5) 



dove f L , f 2 sono funzioni date di u, v, w, è in equilibrio, sopra la 

 superfìcie data , insieme con opportune forze ( I, 4 ) applicate agli 

 elementi del contorno, vi sarà equilibrio anche quando ; conservan- 

 do le stesse forze al contorno, si facciano variare le forze U, V, 

 W in modo però che continuino ad essere identicamente soddisfat- 

 te le condizioni (5). Quest'osservazione vale anche se si suppone 

 che la (3) non sia identicamente soddisfatta. 



Noi sappiamo che esiste sempre un sistema di coordinate cur- 



