Stille equazioni di equilibrio delle superficie flessibili e inestendibili 5 



vilinee ortogonali sopra una superficie flessibile, inestendibile ed 

 equilibrata, tale che si abbia in ogni punto della stessa p = (*). 

 E quindi utile porre in evidenza il caso di p = ; a cui si può 

 ridurre ogn' altro. 



Dato un sistema di coordinate curvilinee ortogonali qualunque, 

 supposta la condizione (3) soddisfatta, dove è ora F= 0, e assumen- 

 do ^ = 0, si concluderà che se le forze soddisfano alla condizione : 



le equazioni : 



PKi — l\k 4- -=— ^— , 



du dv 



3X 3"a. _ . 



— + Pi*- = Ky , — + P ì \ = K 2 



du àv 



ammetteranno una soluzione comune e determineranno >• , mentre 

 * sarà dato dalla (1). Determinate così X, p, », le equazioni (I, 4) 

 forniranno U s , V s , W s . Si ha così un caso di equilibrio. 



III. Se non si ha identicamente la (III, 3), dovrà essere : 



PA - PA -t- 4^ - ^ 



" (l) 



_ dPi 



du dv 



ma, sostituendo nelle (II, 2) quest' espressione di si otterrebbe- 

 ro due equazioni a derivate parziali lineari del 3° ordine in p. Per 

 evitare ciò si può tentare di ridurre questo caso al primo median- 

 te una trasformazione di coordinate curvilinee. Si osservi dappri- 

 ma che una delle due quantità P 4 , P 2 , p. es. P l , si può supporre 

 differente da zero, perchè se fossero ambedue identicamente nulle, 

 sarebbe soddisfatta la condizione (II , 3), sicché saremmo nel pri- 

 mo caso (II). Ciò premesso, alle linee coordinate u si sostituiscano 

 altre linee coordinate u v da determinarsi e legate alle u, v dalla 

 relazione : 



Ui = Ui (u, v). 



(*) Cfr. Beltrami, Memoria citata. 



