10 Sulle equazioni di equilibrio delle superficie flessibili e inestendìbili 



delle tre quantità >•, y-, » ed essendo inoltre : 



dz dz d 2 z d 2 z _ d 2 z 



P ~ hi ' q ~ dv ' V ~~ du~ 2 ' $ ~ dulh ' d& ' 



Di quest' equazione, alla quale si possono estendere alcuni ri- 

 sultati che si conoscono per l'equazione di Laplace, sieno z l , z 2 due 

 integrali continui in tutta un'area data A ed in ogni punto del con- 

 torno sia z L = z v Sia U=z i — z v Formiamo l'integrale doppio : 



ff TT \ n d 2 U _ d 2 U ^d 2 U „dU , _ dU , ^ rT l . . 



J ' L etr <mdw dtr <m J 



esteso a tutta 1' area A. Si avrà identicamente : 



7 = 0. 



Integrando per parti ed osservando che al contorno è U = 0, 

 si ha : 



^ L \duì du dv \ dv l 2 du du 2 dv du 2 a» 3» + 



+ 4- ^ 2 ( + 4^- - 2ZÌ 1 dado = 0. 

 2 ' du dv ' J 



Applicando l' integrazione per parti al quarto , quinto e sesto 

 termine dell' espressione differenziale contenuta nel primo membro 

 di quest' equazione, si deduce : 



•f f \- ( 3?* ^ ^ ^ du dv ^ ( dv ) 

 2 v cV dttcw dv du dv ' J 



Supponiamo che in tutta 1' area data .4 sia : 



fli _ 47?T < , 



sicché R e T avranno uno stesso segno, che sarà in nostro arbi- 



