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Francesco Caldarern 



[Memoria IL] 



differenze — - — —pari o dispari, ovvero apponendo al prodotto il fattore ( — 1) 



inol- 



tre per brevità si rappresenti lo stesso prodotto simbolicamente scrivendolo II (a, b, c, k), 

 e così pel determinante in considerazione si ha 



(6) 



£>(!) — (— 1) * lì(a,b,c,... ,k). 



Relativamente al secondo determinante (2) si scorge d' essere divisibile pel prodotto 

 degli elementi della prima orizzontale, onde con riguardo alla forma (ó) del D (1) si ha 



(7) 



D(2) = (— 1) 2 abc.k U(a, b, c, . .. , k). 



Pel terzo determinante D (3) si rileva immediatamente d' essere riducibile al grado 

 ri"" nella forma 



(8) . . . D (3) = 



a — 1 , b 



a- — l , b- 



. , k - 1 



. , k* - r 



a" — l , b' 



, k" - 1 



divisibile per le differenze a — 1, b — 1, k—ì, ciò che risulta più manifesto sottraen- 



do da ciascuna orizzontale la precedente, operando dal basso in alto , conseguentemente 

 con riguardo al D (ì) si ha 



(9) 



D (3) ==(«—l) (6—1) . . . {k—ì) D(ì), 



e di seguito all' espressione (6) dal D ( 1), scritte altresì le differenze a — 1, b — l, . . ., k — 1 

 in ordine inverso 1 — a, 1 — b, 1 — k, apponendo al loro prodotto il fattore ( — 1)" , 



risulta 



(10) 



n (m+i) 



£>(3)=(— 1) \ (1— d){ì— 6). . .(1— k) Ua,b,c,. .., *). 



Infine, prendendo a considerare il quarto determinante (4), si nota che le sue verticali, 

 dalla seconda in poi, nel verso da sinistra a destra , sono divisibili rispettivamente per 

 a, b, k, sicché con riguardo alla forma (10) del D (3), si ha 



( n > D(4) = (— 1) l abc . . . kX(ì-a)ì-b) . . . (1— k) II {a, b,c,..., k). 



