Su taluni determinanti di forme singolari 



11 



posizione, si ha (confr. il succitato mio Trattato dei Determinanti) prendendo dalla matrice 

 una porzione limitata, ossia costituita dai primi elementi di u orizzontali, che si succedono 

 come nella stessa matrice, e da altrettante verticali in simile successione, sicché verrà a 

 formarsi un determinante finito d' ordine n, che si designa in generale D n , e se questo 

 al crescere indefinitamente di n, ha un determinato limite finito A, si prenderà tale limite 

 per valore del dato determinante, che pertanto si dirà convergente. 



8. — Venendo all' esame concreto dei due proposti determinanti (35), la cui formazio- 

 ne è con leggi specifiche dichiarate, in riguardo alla loro convergenza, è da osservare, 

 relativamente al primo D, che gli elementi delle orizzontali, a parte il fattore a , costitui- 

 scono serie del tipo 



(36) 8Ì==5i + 4« + 4r+...H-ÌH-.... 



e delle verticali altre serie di forma 



(37) o«= i . _|--! T - + J- r + ...-|--i sr +; 



dinotato con ni uno qualunque dei numeri impari 1, 3, 5, ... ; relativamente poi al secondo 

 determinante. E, a parte il fattore , gli elementi delle orizzontali costituiscono serie di 

 forma 



(36') ^ = 1+4- + -^- + ...+^ , 



e delle verticali altre serie del tipo 



(37') aj t v = 1 + -L + -L+... + J_ _|_... 



tir m m " 



essendo m un qualunque numero degl' interi 1, 2, 3, . . . . 



La convergenza di queste serie si dimostra agevolmente : quanto alle (37) (37'), che si 

 accoppiano ad unica forma, distinta soltanto dai valori diversi della ni, esse hanno origine 



dallo sviluppo in serie della funzione a potenza M ^r) _ 1 > cne è sempre conver- 



gente essendo — r< 1, ed il limite di convergenza è dato dalla frazione -= : per le 



ìli »»* T 



(36), (36') poi, si osserva da un canto che, presi gli sviluppi in serie dei /. cos x , 

 sen x 



l , che sono funzioni pari della x , e si annullano per x = 0, laonde assumono 

 le forme 



co 00 



(38) /.cos x = ^ C n x tA , / s ^ = 2 A. x* n , 



i ' i 



essendo 



C t , C 2 , C 3 , . . . C n , e D x , Z) 2 , Z> 3 , . . . , D„ , coefficienti indipendenti dalla varia- 



