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Francesco Caldarera 



[Memoria II. J 



bile x , determinati da note leggi di formazione, e i D n legati ai corrispondenti C„ mer- 

 cè la relazione D„ = C n : (2 2 " — l), e dei primi cinque avendosi i valori 



c = _J_ c — — — c--i- c - 31 



1— 2 ' 2— 12 ' 3— 45 ' d — 2520' " ~ 



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d' altro canto gli sviluppi in prodotti infiniti delle stesse funzioni 



4.v 2 ,. / . 4.r 2 v / . 4x 2 



COS X 



I . \ I , 4X* \ 1 , QX- \ 



sen x i . x * \ l . x 



X \ TZ" J \ 4tt 



25tt 2 



.Ki-^lx..... 



coi loro logaritmi messi in confronto coi (38) danno 



co 



/ cos x = 2 C, *- = I ( 1 - ^ ) + / ( 1 - ) + ; ( 1 - U ! + ecc. , 



'^ £ =2**"H 1 -^)+'('-è)+'{ 1 -è) + - • 



Ora, sviluppati i logaritmi delle funzioni binomie secondo la nota serie /(l — s) = 



2 3 2 3 



— g ecc., e presi in esse eguaglianze i coefficienti di una medesima poten- 



2 3 



za .v~" di ciascuna, al primo e secondo membro, si conseguono l'espressioni seguenti dei 

 coefficienti C, L , D„ , cioè 



< *» C » = ~ T f ('+3*+^ + «c.) , 0.=- i( i f ( 1+ £ 4 ■ ~+ ecc.) , 



le quali dimostrano la convergenza delle due suddette serie (36), (36'), convergenti ai li- 

 miti dati dalle forinole 



(40) aj ; = — li (~ \ "c n , al, 11 = — //tu 2 " D„ . 



La convergenza delle quattro serie (36), (37), (36'), (37') resta dunque assodata, e poi- 

 ché ciascuna di essa è composta da termini tutti con lo stesso segno, ne segue che le 

 medesime sono assolutamente convergenti ; in conseguenza di ciò va dimostrato comple- 

 tamente che i due proposti determinanti (35) hanno tutte le condizioni necessari e suffi- 

 cienti per essere convergenti. 



9. — Relativamente al criterio specifico di tale convergenza, considerati gli stessi de- 

 terminanti direttamente, nelle loro speciali composizioni, si rileva che le porzioni D n , E n , 

 costituite come fu sopra indicato (n° 7) sono i determinanti finiti d' ordine n mo , espressi 



