Su taluni determinanti di forme singolari 15 



11. — Onde trovare la relazione che lega i due determinanti D(/i), C{n — 2), qua- 

 lunque sia il numero d' ordine sempre impari, trattiamo questi due particolari (46), (47) 

 relativi al numero 9, con procedimento e ragionamento applicabili a tutti gli altri valori ; 

 a tale fine osserviamo anzitutto che varie trasformazioni possibili del D (n) dipendono dal 

 modo di formazione dei quadrati magici costituenti le matrici ; infatti, presa a piacimento 

 una delle linee, verticale od orizzontale qualsiasi, si può ridurla ad elementi eguali al- 

 l' unità, aggiungendovi dapprima tutte le altre linee omonime, addizione che commuta tutti 

 gli elementi della linea prescelta ad esser eguali, ciascuno alla somma s degli elementi 

 primitivi di essa linea, e di seguito uscito fuori matrice codesto fattore s, la detta linea 

 diventa ad elementi 1. 



Coerentemente a tale trasformazione, si prendano in considerazione altra linea orto- 

 gonale alla ridotta ad 1, e i suoi elementi, che si rendono tutti nulli, ad eccezione dell'I 

 posto sulla prima linea, sottraendo da ciascuna delle linee aggiunte la ridotta ad 1, mol- 

 tiplicata rispettivamente per 1' elemento corrispondente della seconda linea ; conseguente- 

 mente a ciò, si ribasserà di una unità il grado del D{n), sopprimendovi le due linee ope- 

 ranti già trasformate. 



Operando tanto sul determinante (46), prescegliendo per le due linee anzindicate la 

 verticale centrale, e la prima orizzontale, si ottiene 



(48) I)(9) = s 



10 



10 



10 



71 



10 



10 



10 



1 



20 



20 — 



ól - 



70 



20 



20 



20 



1 1 



30- 



51 — 



51 — 



60 



30 



30 



21 



21 



— 41 — 



41 — 



50 — 



50 



40 



40 



31 



31 



— 31 — 



31 — 



40 — 



40 



50 



41 



41 — 



40 





30 — 



30 - 



30 



60 



51 — 



30 — 



30 



— 11 — 



20 — 



20 — 



20 



61 — 



20 — 



20 - 



20 



— 10 — 



10 - 



10 — 



10 



- 10 - 



10 — 



10 — 



10 



Ciò che di singolare si scorge in questo determinante (48) , riguardo alla prima e 

 I' ultima orizzontale, non è una casualità derivante dall'ordine particolare 9, ma sibbene con- 

 seguenza della composizione dei quadrati magici della specie considerata ; infatti in un 

 qualsiasi quadrato d' ordine u si osserva alla verticale centrale il primo elemento 1 in alto 

 e l'ultima n 2 in basso, nella verticale successiva a sinistra il primo elemento è n 2 — ì, e sotto 

 di questo l'elemento n, sicché la differenza tra i due è // — [ — 1 — ir, corrispondente a — 71 

 in (48) ; nel primitivo D (n) il primo e secondo elemento dell' ultima verticale a destra 

 differiscono dall' unità, che appunto si scorge in (48) ; tutti gli altri elementi della prima 

 e seconda orizzontale dello stesso D(n), oltre agli anzicennati, sono tali che le rispettive 

 differenze per ogni verticale risultano eguali ad n-\-l, quale scorgasi in (48) 10 = 9-|-1 ; 

 gli elementi dell' ultima orizzontale in basso sono tali rispetto ai corrispondenti dalla pri- 

 ma orizzontale, che le differenze sono tutte eguali a — (w-j-l), perciò — 10 in (48). 



Tenute presenti queste osservazioni generali, si proceda al ribassamento di altra unità 

 del grado del D (n), sottraendo in (48) l'ultima verticale a destra da tutte le altre, i cui 



