Memoria VI. 



Ricerche sulle congruenze di ¥ r _ 2 che ricoprono semplicemente l'S r , 

 Memoria di GIUSEPPE MARLETTA 



Per quanto io sappia quasi nulla si conosce delle congruenze di varietà V"L 2ì con ///>/, 

 dell' S r , eccetto il caso particolarissimo di r = 3 e ni = 2; per r = 3 ed w>3 si co- 

 nosce pochissimo. 



Ho creduto quindi conveniente occuparmi di dette congruenze nell' ipotesi generale di 

 r ed ni qualunque : e in questo lavoro ne ho cominciato lo studio trattando delle con- 

 gruenze d'ordine uno, di quelle, cioè, che ricoprono semplicemente l'ambiente S,. . 



Premessi, nell' introduzione, alcuni noti teoremi assai utili per il seguito, nel cap. I 

 si assegnano tutte le congruenze di classe v 0, /, 2 con un metodo semplicissimo e 

 fecondo che consiste nel trarre profitto di una certa superficie F la quale, coni' è noto, è 

 intimamente legata (Castelnuovo) all'involuzione che le varietà della congruenza determi- 

 nano sopra un piano generico. Per r — 2 la congruenza di V','.L 2 diventa un' involuzione 

 piana d'ordine m (cioè di gruppi di ni punti ciascuno); in tal modo si ha l'occasione 

 (n° L'5, b) di presentare un'involuzione piana, d'ordine 2 e classe 2, che credo nuova. 



Nel cap. 11 si studiano le congruenze generate da varietà V"L 2 iperpiane, specialmente 

 quelle di classe v = 0, {'") , 2 (">'). Si trovano quindi, per via diversa, noti teoremi sulle 

 congruenze di coniche, e teoremi nuovi sulle congruenze di cubiche piane. 



1. Chiameremo congruenza, nell' S r , ogni varietà algebrica doppiamente infinita di 

 varietà algebriche V^L 2 \ essa sarà costantemente indicata con T, e le sue V"L 2 con k. 



Il numero (finito) delle li passanti per un punto generico dell'ambiente S r , sarà detto 

 ordine di F ; classe di questa sarà il numero (finito) v delle coppie di punti ognuna ap- 

 partenente ad una data retta generica e ad una varietà k. 



Un punto si dirà singolare se per esso passano infinite k\ sarà fondamentale se 

 per esso passano tutte le k. Analogamente una retta si dirà singolare se essa è corda 

 di infinite k; sarà fondamentale se essa è corda di tutte le k. Infine sarà chiamata iper- 

 superficie appartenente a T, ogni ipersuperficie luogo algebrico di oo 1 varietà k. 



2. Si osservi che se le k sono varietà iperpiane ( 1 ), la classe v, se maggiore di zero, 

 è eguale ad ls{"ò), indicando con / il numero (finito) degl' iperpiani, delle k, passanti per 

 una retta generica, e con s il numero (finito) delle k esistenti in uno generico degl' iper- 

 piani contenenti qualche k. 



Siccome in tutto questo lavoro si tratterà soltanto di congruenze d'ordine uno, con- 

 veniamo, una volta per tutte, di indicare con I\»,v una congruenza, d' ordine /, le cui 

 V r - 2 siano d' ordine m e la cui classe sia v. 



(') Una varietà sarà detta iperpiana quando è immersa in un iperpiano : ne segue che essa è d' ordi- 

 ne ni > / . 



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