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Giuseppe Marletta 



[Memoria VI.J 



3. Secando Y m ,v con un piano generico, si ottiene in questo un'involuzione piana/ 

 d' ordine ni. Essendo (Castelnuovo) / razionale, i suoi gruppi si possono mettere in cor- 

 rispondenza algebrica biunivoca coi punti di una qualunque delle superfìcie razionali; ma 

 fra queste, è notevole una, normale, F, dallo studio della quale ( ? ) si possono dedurre le 

 proprietà dell' involuzione /. Ma le k sono in corrispondenza algebrica biunivoca coi gruppi 

 di /, quindi possiamo concludere che la congruenza T è rappresentata, biunivocamente, 

 su questa certa superficie F, anzi per mezzo di questa medesima si potrà addirittura stu- 

 diare r. 



4. Riassumiamo qui i principali teoremi dei quali ci serviremo , teoremi che si pos- 

 sono facilmente dimostrare applicando all' involuzione / quanto stabilirono il Castelnuovo 

 e il Ferretti nei lavori citati, ovvero addirittura sostituendo, in questi lavori, alla / la 

 congruenza F. 



a) V ordine di F e 2v -f- 8 -|- /, ove o è l'ordine della curva unita dell'involuzione /. 



b) L'ordine m delle k non e maggiore dell'ordine di F. 



c) La sezione iperpiana di F ha per genere la classe v di V. 



ci) Un'ipersuperficie appartenente (n° 1) a T ha per corrispondente, sulla superfìcie F, 

 una curva dello stesso ordine; e viceversa. 



5. Perchè utili in seguito, rammentiamo qui alcuni teoremi ( 3 ) sulle involuzioni piane. 



a) Dati in uno stesso piano due fasci <J> e <J>' di curve rispettivamente d' ordine 11 e 

 ri ', e ammesso che esista un sistema di curve ( fondamentali ) ognuna delle quali (sia 

 d* ordine .37 la generica) non abbia punti variabili comuni con le curve di essi fasci, l'in- 

 voluzione da questi medesimi generata è di classe 



v = («— l){ri— 1)- ~ E b l 



i 



b) Data, in un piano, una rete <j> di curve d' ordine 11, e ammesso che esista un si- 

 stema di curve (fondamentali) una qualunque delle quali (sia d' o/dine 8 t la generica) non 

 abbia punti variabili comuni con le curve di <}>, l- involuzione da essa rete generata è di 

 classe 



v = ~ {n— 2) - 4" -S s t {Si—l). 



i 



CAP. I. 



§ 1. 

 v == 0. 



6. Nell'ambiente S r sia r m>0 una congruenza d'ordine / e classe v = di varietà 



k = v;:l 3 . 



(•) V idea, veramente geniale, di legare all' involuzione / la superficie F, è dovuta al CASTELNUOVO 

 nell'importante studio Sulla razionalità delle involuzioni piane [Mathematische Annalen, Bd. 44 (1S93)]. 

 Se ne servi il FERRETTI nella Nota Sulla generazione delle involuzioni piane di classe zero ed uno [Rendi- 

 conti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XVH (1903) ]■ 



( 3 ) CHIZZONI, Sopra le involuzioni nel piano [Atti della R. Accademia dei Lincei, serie 3 a , voi. 19 (1883)]. 



