Ricerche stille congruenze di V r -2 che ricoprono semplicemente V S r 3 



La superficie F, relativa a F m>0 , è (n° 4, c) a sezioni iperpiane razionali, onde essa 

 o è rigata ovvero è la superficie di Veronese. 



Nella prima ipotesi la congruenza ha (n° 4, d) un fascio d' iperpiani appartenenti ad 

 essa, e in ciascuno di questi le varietà k costituiscono un fascio, giacché per un punto 

 generico di S r passa una sola varietà k ; ne segue che queste sono varietà iperpiane. Vice- 

 versa se le k sono varietà iperpiane, la superficie F è rigata, infatti se essa fosse la su- 

 perficie di Veronese, l'involuzione 1 (n° 3) sarebbe generabile mediante una rete di coni- 

 che con uno o nessun punto base ( 4 ), ciò che contradice all'ipotesi fatta sulle varietà k. 



Dunque : 



se le varietà k di I 1 ,,,,, sono i per piane, i loro iperpiani generano un fascio, e in 

 ognuno di essi esistono oo 1 varietà k le quali costituiscono un fascio. 



7. Si osservi inoltre, sempre nella stessa ipotesi, che fissato in F un fascio di sezioni 

 iperpiane, ogni punto di F si può considerare come comune ad una di queste sezioni e 

 ad una retta (n° 6) di F; e viceversa due siffatte curve si secano in un (sol) punto di F. 

 Ma ad una qualunque curva di questa superficie corrisponde (n° 4, d) un'ipersuperficie 

 appartenente a T, quindi concludiamo che 



ogni congruenza T,,, „ , d 'ordine 1 e classe 0, di varietà iperpiane, è sempre gene- 

 rabile mediante un fascio cp d' iperpiani e un fascio '\> d'ipersuperficie irriducibili 

 d'ordine m -f- h aventi come h-pla la base di cp. 



8. Da quanto si disse nel n° 6 segue pure (n° 4, b) che 



/'// S, non esistono congruenze d' ordine 1 e classe 0, di varietà V"L 2 non iperpiane 

 e (f ordine m > 4. 



9. Sia m = 3 e le varietà k non siano iperpiane; lai^è dunque (n° 6) la superficie 

 di Veronese. 



Alla rete delle coniche di questa corrisponde (n° 4, d) una rete d' iperquadriche appar- 

 tenenti a r 30 , e ad un fascio di quella un fascio, di questa, la cui base ha come parte 

 variabile una varietà k. Ne segue che 



ogni congruenza T J U di varietà non iperpiane, è sempre generabile mediante una 

 rete d 1 iperquadriche tutte passanti per un S r _2 fisso. 



Che effettivamente in tal modo si ottenga una congruenza d'ordine uno è evidente; 

 che, poi, essa sia di classe zero è facilissimo dimostrare o direttamente ovvero mediante 

 il teorema del n° 5 b. 



10. a) Per r— 3 il teorema precedente afferma che ogni congruenza di cubiche gobbe, 

 d' ordine uno e classe zero, è sempre generabile mediante una rete di quadriche alla cui 

 base appartenga una retta d. Questa retta è, evidentemente, corda di qualunque cubica 

 gobba k di r 3j0 , cubica che passa, inoltre, pei quattro punti che insieme con d costitui- 

 scono la base della detta rete d' iperquadriche. Dunque C) 



ogni congruenza di cubiche gobbe, d' ordine 1 e c/asse 0, è generala da tutte le 

 cubiche passanti per quattro punti dati (non complanari) e aventi come corda una 

 retta data. 



[*) Si noti come il teorema di questo n° 6. si può dimostrare anche direttamente, cioè senza tener conto 

 della superficie F. 



( 5 ) VENERONI, Sopra alenili sistemi di cubiche gobbe [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 

 tomo XVI (1902)1, n° 7. 



