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Giuseppe Mari etto 



[Memoria VI. | 



Che la congruenza generata come ora si è detto sia d' ordine uno è evidente ; che 

 sia di classe zero si può anche dimostrare direttamente osservando che se una retta ge- 

 nerica fosse corda di qualcuna delle dette cubiche, essa retta apparterrebbe ad una stessa 

 quadrica insieme con d e coi quattro punti dati, ciò che è assurdo. 



b) Per r = 4 il teorema del n° 9 afferma che 

 ìiell' S , ogni congruenza, di rigate cubiche normali, d l ordine 1 e classe 0, è ge- 

 nerali// e mediani e una relè d' iperquadriche tulle passanti per un piano fìsso; 

 cioè 



ueir S., ogni congruenza, di rigale cubiche normali, à" ordine 1 e classe 0, è ge- 

 nerata da tutte le rigate cubiche normali passanti per una data quartieri razio- 

 nale normale, e che abbiano, inoltre, una conica in uno dato dei piani trisecanti 

 questa quartica. 



Che effettivamente con tale costruzione si ottenga una r 3>0 , si dimostra, direttamente, 

 in modo analogo a come si fece in a). 



11. Sia 7/1 = 4: anche ora, se le k non sono varietà iperpiane, F è (n° 6) la su- 

 perficie di Veronese. Dunque 



a) ogni congruenza I\ , di varietà non iperpiane, è generabile mediante una 

 generica rete d iperquadriche. 



Ne segue che 



b) non esistono congruenze I\ 9 le cui varietà k no// siano, ognuna, la totale 

 intersezione di due iperquadriche. 



12. Per r = 3 possiamo (n° 11, b) dunque affermare che 



a) non esistono congruenze d'ordine 1 e classe di quartiche gobbe di 2' x 

 specie. 



Inoltre (n° 11, a) 



b) ogni congrue/zza, d' ordine 1 e classe 0, di quartiche gobbe di l a specie, è 

 gene/ (ita da tutte le siffatte quartiche passanti pei punti base di una generica 

 rete di q/t (idriche ( 6 ). 



Per r = 4 non esistono (n° 11, b) congruenze d'ordine //i/o e classe zero di super- 

 fìcie d'ordine 4 immerse nell' S 4 e che non siano superficie di Segre. Inoltre 



c) ogni congruenza d' ordine 1 e classe di superfìcie di Segre è generabile 

 mediante, una generica rete à" iperquadriche ; 



cioè 



ogni congruenza d' ordine 1 e classe di superfìcie di Segue, è generata da tutte 

 le superficie di Segre passanti per la curva base di una generica rete d' iperqua- 

 driche. 



È anche facilissimo dimostrare direttamente che con le costruzioni date in b) e in c), 

 si ottiene effettivamente una congruenza r 4IJ . 



13. Si osservi (n 1 8 e 11 b) che nell' S 3 non esistono congruenze d'ordine / e classe 

 di curve gobbe oltre le due date nel n° 10 a) e nel n° 12 b); nell' S i non esistono con- 



( 6 ) Se le quartiche /• sono ellittiche, allora la rete ha 8 punti base semplici che, com' è noto, formano 

 un gruppo di S punti associati; ne segue che il teorema si potrebbe enunciare anche in quest'altro modo : 

 ogni congruenza ci' ordine i e classe o di quartiche gobbe ellittiche, è generata da tutte le siffatte quarti- 

 che passanti per sette punti generici dello spazio. 



