Ricerche sulle congruenze di /',— 2 che ricoprono semplicemente V S,. 5 



.gruenze d' ordine / e classe di superfìcie, in esso immerse, oltre le due date nel n° 10 b) 

 e nel n° 12 c). 



§ 2. 



V = /. 



14. In S,. sia data La congruenza T,,, , di classe v = /. 



La superfìcie F è dunque (n° 4, c) a sezioni iperpiane ellittiche, e quindi d' ordine < 9" 

 Ne segue subito (n° 4, b) che 



in S r non esiste alcuna Congruenza il ordine 1 e classe l generata da varietà V r _ 2 

 rf' ordine m ^> 9. 



15. Tenendo presente i noti tipi di sistemi lineali di curve piane ellittiche, si può 

 concludere che 



ogni congruenza T my \, è generabile con una {almeno) delle costruzioni seguenti : 



a) mediante dite fasci d' iperquadriche, cp e r \>, non do/a/i </' iperquadrica co- 

 ninne : 



b) mediante una rete d'ipersuperficie cubiche; 



c) mediante un fascio cp d' iperquadriche e un /ascio <[> d'ipersuperficie d'or- 

 dine 4 una delle quali si spezzi in due iperquadriche di cp. 



La congruenza I 1 ,,,., è generabile come è detto in b), quando la superfìcie F è rap- 

 presentata da un sistema lineare di cubiche (ellittiche). Ne segue che in tale ipotesi la T,,, , 

 può, come caso particolare, essere generata anche mediante due fasci : uno cp d' iperqua- 

 driche e l'altro <\> d'ipersuperficie cubiche di una delle quali faccia parte un' iperquadrica 

 di cp. Sempre nella medesima ipotesi, e come caso particolare, la r ul| , può essere generata 

 anche come è detto in a), con la condizione che esista un iperpiano comune ad un' iper- 

 quadrica di cp e ad una di '\>. 



Se la superficie Fè rappresentata dal sistema lineare | 2 2- i > ' a congruenza T,,, , è ge- 

 nerabile come è detto in a) se i punti 1 e 2 sono distinti, è generabile come in e) se 

 questi due punti sono infinitamente vicini. In quest' ultima ipotesi il fascio <j> di cui si 

 parla in e), corrisponde al fascio di quartiche, di F, avente per immagine il fascio di co- 

 niche [X.1234 | > essendo 3 e 4 due punti arbitrari del piano rappresentativo. Secondo che que- 

 sti due punti sono distinti o infinitamente vicini, le due iperquadriche di cp, costituenti 

 un' ipersuperficie di <|>, saranno distinte ovvero no ( 7 ). 



Si noti, infine, che in virtù dei teoremi del n° 5, ogni congruenza costruita come è 

 detto in a), b), c), è effettivamente di classe v = /. Che, poi, sia d'ordine 1 è evidente. 



16. Per m — 2 la superficie F non è rappresentabile ( s ) mediante un sistema lineare 



(") Si noti dunque che il fascio tji può. per la costruzione di r iu ,i, essere sostituito da infiniti altri, e in 

 modo che le due iperquadriche, ora dette nel testo, siano, ad arbitrio, distinte o no. 



I 4 I 



( 8 ) La superficie f non può essere rappresentata dal sistema lineare X 1 2 2 s ! > >nfa.ttì se i punti 1 e 2 

 fossero distinti, IYi sarebbe generata, è vero, da due fasci d'iperquadriche, ma le basi di questi non avrebbero 

 una l''J._ 2 irriducibile comune (il che è necessario), perchè 1' esistenza di questa varietà conduce di conseguenza 

 (n° 4. d) all'esistenza d' iperpiani appartenenti (n 1) a T-za . ciò che (n° 4, d) è assurdo giacché sulla F, 

 rappresentata come si è detto, non esiste alcuna retta. L'ipotesi, poi. che i punti 1 e 2 siano infinitamente 

 vicini si esclude pure. Infatti si ammetta che F possa essere rappresentata in tal modo. Allora del fascio 



