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Giuseppe Marleita 



| Memoria VI.] 



di quantiche con due punti doppi, onde possiamo (n° 15) affermare che 

 /// S r ogni congruensa T% t \ è generabile mediante una rete d' ipersuperfìcie cu- 

 biche ( 9 ). 



In qualche caso particolare una congruenza I\i può anche essere generata mediante 

 due fasci d' iperquadriche cp e <\> non dotati d' iperquadrica comune, e tali che esista un 

 iperpiano comune ad un' iperquadrica di cp e ad una di r \> ; ovvero mediante due fasci, 

 uno cp d' iperquadriche l'altro <\> d'ipersuperfìcie cubiche, tali che esista un' iperquadrica 

 di cp la quale sia parte di una ipersuperfìcie di <\>. 



17. Per r—3 si ha (n° 16) che 



a) ogni congruensa T 2 ,\ di coniche è generabile mediante una rete di super- 

 fìcie cubiche tutte passanti per una curva gobba d'ordine 7 e genere p=5. 



Inoltre 



conte caso particolare una congruensa I\i di coniche può anche essere generata 



b) mediante due fasci di quadriche, qp e <f>, non dotali di quadrica comune, e 

 tali che esista una conica, comune alle loro basi; 



c) mediante un fascio di cp di quadriche e un fascio c|> di superfìcie cubiche, 

 tali che esista una quadrica di cp parte di una superfìcie di <[>/ inoltre o la base 

 di cp appartiene a quella di c|>, ovvero essa si spessa in quattro rette delle quali 

 una sia doppia per le superficie di <[>, e altre due, a questa incidenti, siano sem- 

 plici per queste superfìcie medesime . 



E facile dimostrare, e del resto ritroveremo per altra via, che il teorema a) è equi- 

 valente a quest' altro noto ( 10 ) : 



Ogni congruensa F 21 di coniche, è generata dalle coniche 6-secanti una curva 

 (gobba) d' ordine 7 e genere p = 5. 



18. Per m = 3 si può (n° 15) affermare che 



ogni congruensa r tl è generabile con una (almeno) delle costruzioni seguenti: 



a) mediante due fasci d' iperquadriche, cp e <[>, non dolati d' iperquadrica co- 

 mune e le cui basi hanno un S r --z comune ; 



di coniche appartenenti all'involuzione / (n° 3), e a cui corrisponde il fascio di /"rappresentato da I XJ | , 

 si scelgano due coniche generiche irriducibili. A queste corrispondono due rette passanti per il punto 1 ; si fis- 

 sino su queste rispettivamente due punti generici 3 e 4, e si consideri il fascioj ~^\ ìu I • Esso rappresenta un 

 fascio di quartiche, di F, a cui corrisponde un fascio x di quartiche, di I, le quali, dovendo essere secati in 

 due punti (coniugati) variabili dalle coniche di 0, avrà fra i suoi punti base i punti base di 6, anzi due di 

 questi come doppi. Ciò posto la retta congiungente i due punti base semplici è secata dalle quartiche di 1 in 

 due punti (coniugati) variabili, onde ad essa corrisponde ( n° 4, d ) una retta di F , e ciò è assurdo perchè 

 su F non esistono rette. Si noti che non si può obbiettare che la detta retta insieme con la congiungente 

 i due punti base doppi, faccia parte di una quartica di x, perchè in tal caso / sarebbe (n° 5, a) di classe 

 v — j. j— 2 — 1 — 0. Se poi i punti base di 8 fossero per x uno triplo e tre semplici , allora, ragionando 

 come si è fatto, si concluderebbe 1' esistenza in F di tre rette, ciò che è assurdo. Concludiamo dunque che 

 I' ipotesi dei punti 1 e 2 infinitamente vicini è anche da escludere. 



Si noti infine che il caso dei punti 1 e 2 distinti si può escludere anche con le considerazioni fatte per 

 il secondo caso, con qualche lievissimo ritocco. 



( 9 ) Questa rete, evidentemente, deve esser tale che due sue ipersuperficie generiche abbiano come inter- 

 sezione variabile comune una V r _* irriducibile. Analoga osservazione si faccia per quanto ancora si asse- 

 risce in questo n e . 



( 10 ) MONTESANO, Su di un sistema lineare di coniche nello spazio [Atti della R. Accademia delle Scienze 

 di Torino, voi. XXVII (1892)]. 



