Ricerche sulle congruenze di V r -2 che ricoprono semplicemente V S r 9 



§ 3. 

 v = 2. 



22. In S r sia data la congruenza r m ,2 di classe v = 2, onde se le sue varietà le sono 

 iperpiane sarà necessariamente ni = 2. 



La superficie F è dunque (n° 4, e) a sezioni iperpiane di genere p = 2 , e quindi 

 d'ordine < 12. Ne segue subito (n° 4, b) che 



in S r non esiste alcuna congruenza d'ordine 1 e classe 2 generata da varietà V r _ 2 

 d' ordine ni > 12. 



23. Tenendo conto dei noti tipi ( l9 ) di sistemi lineari di curve piane di genere /> — I?, 

 si può affermare che 



ogni congruenza F,,,^ è generabile con una (almeno) delle costruzioni seguenti : 



a) mediante un fascio cp d' iperquadriche e un fascio <p d' ipersuperfìcie cubiche; 



b) mediante un fascio o d' iperquadriche e un fascio i d' ipersuperfìcie d' or- 

 dine 4 di una delle quali è parte una (sola) iperquadrica di cp ; 



c) mediante un fascio cp d' iperquadriche e un fascio <p d' ipei superfìcie d'or- 

 dine 5 di una delle quali sono parte due iperquadriche di cp ; 



d) mediante un fascio cp d' iperquadriche e un fascio <[> d' ipersuperfìcie d'or- 

 dine 6 una delle quali è spezzata in tre iperquadriche di cp (*°). 



La dimostrazione di questo teorema non offre difficoltà. 



La costruzione c), p. es., si ha quando la superficie F sia rappresentata da un si- 

 stema lineare di quintiche con un punto base triplo A e un punto base doppio B infini- 

 tamente vicini. In tal caso conviene considerare il fascio delle rette passanti per A, e il 

 fascio delle coniche passanti per A, B, C e D, essendo C e D due punti generici, del 

 piano rappresentativo, distinti o infinitamente vicini. Le due rette AC e AD sono imma- 

 gini di quelle due coniche di F alle quali corrispondono le due iperquadriche, di cp, delle 

 quali si parla nell' enunciato. 



La costruzione d) si ha quando la superficie F è rappresentata da un sistema lineare 

 di sestiche con un punto base quadruplo A e due punti base doppi B e C situati nel- 

 l'intorno di 1° ordine del punto quadruplo. In tal caso conviene considerare il fascio di 

 rette passanti per A, e il fascio di cubiche aventi A come doppio e passanti' per B, C e 

 per tre punti generici del piano rappresentativo. Le tre rette che da A proiettano questi 

 tre punti, sono le immagini di quelle tre coniche di F alle quali corrispondono le tre iper- 

 quadriche, di cp, delle quali si parla nell' enunciato. 



( 19 ) Per questi tipi, dati la prima volta da JUNG. cfr. p. e«. 



FERRETTI, Sulla riduzione all' online minimo dei sistemi lineari di curve piane irriducibili di genere 

 p ; in particolare per i valori 0,1,2 del genere [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XVI 

 (1902)]. 



( 20 ) La superficie F non può essere rappresentata da un sistema lineare di sestiche con otto punti base 

 doppi, perchè essa è (n° 4, «) d' ordine > 7. Del resto è noto che il detto sistema lineare non è semplice ; cfr. 

 BERTiNi. Ricerche stille trasformazioni univoche involutorie nel piano [Annali di Matematica, serie 2 a . to- 

 mo 8° (1877)!, n" 35; osservazione già fatta dal CREMONA e comunicata per lettera al CAPORALI . 



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