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Giuseppe Mariella 



[Memoria VI. 



Che effettivamente le congruenze generate come dice il teorema siano d' ordine / è 

 evidente; che siano di classe v = 2 segue dal n° 5 a). 



24. Per ni = 2 il teorema del n° precedente si riduce ad affermare che 

 ogni congruenza r 2 ,2 in S, 



a) o è generabile media/ile un fascio ti' iperquadriche e un fascio d' ipersuper- 

 ficie cubiche, tali che della base di questo sia parte la base di quello] 



b) ovvero è generabile mediante un fascio cp d' iperquadriche e un fascio <J> 

 d'ipersuperficie d' ordine 5 aventi come doppia la base di cp; inoltre di una di 

 queste superficie sono parte due iperquadriche di cp. 



25. Per r — 2 la Tg^ è un' involuzione piana di coppie di punti, e il teorema del n° 

 precedente afferma che 



ogni involuzione piana cioè di coppie di punti e di classe v — 2, 



a) o è generabile mediante un fascio cp di coniche e un fascio <f> di cubiche 

 tali che della base di questo sia parte la base di quello; 



b) ovvero è generabile mediante un fascio <p di coniche e un fascio § di curve 

 d' ordine 5 tutte aventi come doppi i quattro punti base di cp; inoltre una curva 

 di <[> si spezza in due coniche di cp e in una retta generica. 



La r 2 ,2 generata come è detto in a) è un'involuzione di Jonouières nell'ipotesi che 

 cp degeneri in un fascio involutorio di rette il cui centro sia doppio per tutte le cubiche 

 di '\>. L'involuzione detta in b) non era conosciuta; essa si costruisce mediante un fascio 

 generico cp di coniche, e il fascio t|> individuato : da una quintica irriducibile avente 

 come doppi i quattro punti base di cp , e dalla quintica spezzata in due coniche gene- 

 riche di cp e in una retta / generica ( 21 ). Infatti se esistesse un fascio 6 di cubiche 

 ellittiche unite (generalmente irriducibili), tale che insieme con cp possa costruire 1' involu- 

 zione r 2j o, queste cubiche passerebbero pei quattro punti base di cp , e tre qualunque dei 

 rimanenti cinque punti base di 8 non potrebbero essere collineari, altrimenti qualche cu- 

 bica di 6 conterrebbe una conica di <p, ciò che è assurdo perchè ne verrebbe v<^2. Dun- 

 que l' unico caso da esaminare è che le cubiche di 8 passino tutte per uno (solo) P dei 

 cinque punti base che ^ ha in f. Or siccome questa retta è luogo di coppie di punti co- 

 niugati nella r^a, su ogni cubica di 8 le coppie siffatte sarebbero tutte collineari con P, 

 onde 1' involuzione I\a sarebbe di classe v — 0. Lo stesso ragionamento varrebbe se le 

 cubiche di 6 fossero razionali, e il punto base doppio non coincidesse con alcuno dei 

 punti base di cp. Infine neh' ipotesi che il detto punto doppio fosse uno dei punti base 

 (semplici) di cp, siccome questi punti si comportano tutti egualmente, dovrebbero esistere al- 

 tri 4.3 — 1 = 11 fasci di cubiche unite, ciò che è assurdo come si vede dalla rappresen- 

 tazione piana della superficie F. 



26. Per r—3, e ancora ni = 2, F^a è una congruenza di coniche di classe v = 2. 

 Il teorema del n° 24 afferma che 



ogni congruenza r 2 , 2 di coniche 



C 21 ) Nel lavoro del BERTINI, Sopra alcune involuzioni piane [Rendiconti del R. Istituto Lombardo di 

 Scienze e Lettere, serie 2 a , voi. XVI (1883)], figurano soltanto le involuzioni costruibili come è detto in a). 

 Del resto per le involuzioni costruite come in 6), il fascio di cubiche di cui si parla alla fine del n° 12 di 

 questo lavoro citato, si spezza in una retta fìssa e nel fascio di coniche unite, onde esso fascio di cubiche 

 non può servire, insieme con questo di coniche, a costruire 1' involuzione. 



