Ricerche sulle congruenze di Fi— 2 che ricoprono semplicemente l' S,. 1 1 



a) o è generabile mediante un fascio cp di quadriche e un fascio <|> di super- 

 fìcie cubiche, tali che della base di t[> sia farle quella di qp ; 



b) ovvero è generabile mediante un fascio qp di quadriche e un fascio c|> di 

 superficie d'ordine 5 aventi come doppia la base di qp; inoltre una di queste su- 

 perfìcie si spessa in due quadriche di qp e in un piano generico ic. 



Nel caso a) la base di <\> è costituita dalla quartica di L a specie "(' base di cp, e da 

 una quintica gobba y di genere p = 2 avente con y otto punti comuni. Le coniche k 

 della congruenza r 2>2 si appoggiano in 2 punti a y e in 4 a y'j ma le quadriche di qp se- 

 cano f nella gt di essa, quindi anche le k secano y in coppie di questa ^| . Ciò posto 

 sono da distinguere due ipotesi secondo che la rigata quadrica delle rette contenenti le 

 coppie della detta g\ non è ovvero è un cono. Nella prima ipotesi per una retta generica 

 passano due piani distinti ognuno contenente una (sola) conica k ; ne segue (n° 2) l = 2 

 ed s — 1. Nella seconda ipotesi per una retta generica passa un (solo) piano contenente 

 due coniche k ; cioè (n° 2) 1 = 1 ed 5 = 2. 



Nel caso b) esiste una quintica y, del piano 7t, la quale è parte della base di 'j* ; que- 

 sta quintica è di genere p = 2 , e precisamente ha come doppi i quattro punti iq', indi- 

 cando anche qui con y la base di qp. Le coniche k di 1^,2 si appoggiano, anche in que- 

 sto caso, in 2 punti a ? e in 4 a y' ; ma le quadriche di cp secano f nella g\ di essa, 

 quindi anche le k secano f in coppie di questa g' 2 . Anche qui sono da distinguere due 

 ipotesi secondo che l'inviluppo, di classe 2, generato dalle rette contenenti le coppie 

 della detta gl, sia irriducibile ovvero degeneri in un fascio contato due volte. Nella prima 

 ipotesi per una retta generica passano due piani distinti ognuno contenente una (sola) co- 

 nica k, onde è (n° 2) 1 = 2 ed s = /; nella seconda ipotesi per una retta generica passa 

 un (solo) piano contenente due coniche k, onde è (n° 2) 1 = 1 ed s = 2. 



Concludiamo dunque che ( 22 ) 

 ogni congruenza di coniche, d' ordine l e classe 2, è generata dalle coniche bise- 

 canti una quintica y di genere p=2 e 4-secanti una quartica gobba di l a spe- 

 cie y', le y e ~( con otto pienti comuni. 



'21 . Sia oia r = 3 e /// = 3. 



Dal teorema del n° 23 segue che 

 ogni congruenza r 3) a di cubiche gobbe è generabile con una (almeno) delle seguenti 

 costruzioni : 



a) mediante un fascio cp di quadriche e un fascio di superfìcie cubiche le 

 cui basi abbiano una cubica gobba in comune ; 



a') come in a) con la differenza che della base di cp facciano parte due rette 

 complanari rispettivamente doppia e semplice per le superficie di <\>: 



b) mediante un fascio cp di quadriche e un fascio '\> di superfìcie à" ordine 4 

 di una delle quali faccia parte una (sola) quadrica di cp ; inoltre la base di cp si 

 spezza in una retta e in una cubica rispettivamente doppia e semplice per le su- 

 perfìcie di t[) ; 



c) mediante un fascio cp di quadriche e un fascio <|) di superfìcie d' ordine 5 

 di una delle quali sono parte due quadriche di cp ; inoltre la base di cp si spezza 



(**) (PERI, Sopì a alt iene congruenze ili coniche [Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, voi. 

 XXVIII (1893) ]. n. 9. 11 e 12. 



