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Giuseppe Marletta 



[Memoria VI.] 



d) mediante un fascio cp di quadriche, la cui generica non sia un cono, e un 

 fascio cp di superfìcie d' ordine 6 una delle quali è spezzata in tre quadriche di cp; 

 inoltre la base di cp si spezza in tuia conica doppia per le superfìcie di cjj t e in 

 due rette rispettivamente semplice e tripla per queste superficie medesime ; 



cT) come in d) con la differenza die per le superfìcie di cj> sia tripla la conica 

 parte delta base di cp, e sia doppia una delle due rette rimanenti di questa base. 



30. Si osservi che in S r ogni varietà k di r„ 1>2 appartiene (n° 23) ad un' iperqua- 

 drica, e quindi 



in S,. non esiste alcuna congruenza r,,,,?, d'ordine 1 e classe 2, generata da va- 

 rietà V"l 2 non appartenenti a iper quadriche. 



In particolare, dunque, per r = 3 possiamo affermare che non esiste alcuna con- 

 gruenza, d' ordine / e classe 2, generata da curve gobbe non appartenenti a quadriche. 



P. es. non esiste alcuna congruenza, d' ordine / e classe 2 , generata da quintiche 

 gobbe ellittiche prive di punti doppi. 



31. Per le congruenze r ni , 3 , di classe v — 3, si potrebbe seguire, senza nuove diffi- 

 coltà concettuali, lo stesso ordine di idee tenuto, in questo cap. I, per v — 0, /, 2 ( 25 ). 



CAP. II. 



§ 1. 



* = (?)• 



32. In questo capitolo supporremo sempre che le varietà k= V','L 2 della congruenza T, 

 dell' S r , siano varietà iperpiane. 



33. La congruenza T sia di classe v = (' 2 '), onde (n° 2) b l = s = /, cioè per una retta 

 generica passa una sola varietà k, e un iperpiano che contenga una k non contiene, in 

 generale, alcun' altra varietà le. GÌ' iperpiani delle varietà k generano dunque una stella, e 

 precisamente passano tutti per uno stesso S,._ 3 che indicheremo con Q. 



Fissato un S,._ 3 di Q , le k esistenti negl' iperpiani passanti per esso generano un' i- 

 persuperficie d' ordine m -f- /. Al variare dell' S,._. 2 , sempre passando per Q, si ottengono 

 cxd 2 siffatte ipersuperficie le quali generano una rete ; infatti per due punti generici 

 dell'ambiente S r , passa quella (unica) ipersuperficie di i P l ottenuta considerando l'S r _2 co- 

 mune ai due iperpiani delle due varietà k passanti, rispettivamente, pei due punti dati. 

 Due qualunque ipersuperfìcie di <& i hanno come intersezione variabile una (sola) varietà k. 

 Viceversa, data una rete $ 4 di ipersuperfìcie d' ordine m -f- /, tali che due qualunque di 

 esse abbiano come intersezione variabile comune una V','L 2 iperpiana d'ordine m, tutte le 

 siffatte varietà iperpiane generano una congruenza T d'ordine 1 e (n° 5, b) classe v =: ( ^ ). 



34. Quanto si disse nel n° precedente, si può presentare sotto altra forma. 



( 25 ) Infatti possono dirsi note le superficie a sezioni iperpiane di genere p — j, e, allo scopo, basterebbe 

 considerare soltanto le razionali (normali); cfr. dunque 



CASTELNUOVO, Sulle superficie algebriche le cui sezioni sono curve ili genere J [Atti della R. Acca- 

 demia di Torino, voi. XXV (1890)]; e 



DE FRANCHIS, Riduzione dei. sistemi lineari <*> h di curve piane di genere 3, per /; > / [Rendiconti del 

 Circolo Matematico di Palermo, tomo XIII (1899)]. 



