Ricerche sulle congruenze di V r —% che ricoprono semplicemente /' S r 15 



Data la congruenza T, le ipersuperfìcie di un fascio ( I> della rete ( I\ (n° 33), sono 

 quelle ottenute facendo variare 1' S r - a (n° 33) in un dato iperpiano 2 (passante per Q). 

 Viceversa, date due ipersuperfìcie d' ordine w ~\- 1 aventi in comune una varietà iperpiana 

 V"L-i esse determinano un fascio ( I> d'ipersuperfìcie tali che ognuna di esse ammette un 

 fascio di varietà ad /' — 2 dimensioni e d' ordine ///, fascio ottenuto secando la detta iper- 

 superfìcie con gì' iperpiani passanti per quell' S r _j che essa possiede nel l* iperpiano £ della 

 V"-2 ■ Le varietà degl' infiniti fasci così ottenuti, generano evidentemente una congruenza 

 r w , ('•'), e i loro iperpiani passano tutti per l'S,._ 3 ^Q base del fascio degli S r - i tracce 

 variabili delle ipersuperficie di O nel!' iperpiano 



Concludiamo dunque 



di avere assegnato, in questo //", una costruzione delta più generale congruenza 

 T m , ('•') di varietà iper piane . 



35. La base del fascio <I> (n° 34) è costituita dalla varietà k esistente in E, sia k\ , 

 e da una Vr—T^^ = Y a " a quale appartiene iì. L' iperpiano di una qualunque varietà k 

 seca y in iì e in una p»^<»"+n giacente in k (-"). 



Viceversa ora si vuol dimostrare che data una varietà 7 = y^jw+V+i ta ] e cne j n . 

 sieme con una k l = V"L 2 , di un iperpiano 2, costituisca la totale base di un fascio <& 

 d'ipersuperficie d'ordine m-\-l, le varietà iperpiane h, ad r — 2 dimensioni e d'ordine ni, 

 ognuna secante 7 in una varietà r™<_^"+ ] ) ; generano una congruenza T m , (''.'). 



Infatti fissata una k' delle dette varietà k, dicasi S' il suo iperpiano. Da S' il fascio $ 

 è secato in un fascio «!>' della cui base fanno parte la V' = V?-™ di // , e la h\ S' ; 

 rimane dunque per completare la base di un S',.„ :i che evidentemente appartiene a y. 

 Ora la varietà d'ordine m-\-l e ad r — 2 dimensioni costituita da Ti e d all' S r — 2 '= S' E , 

 giacché passa per V' e per k t S' , passerà ( 2| ) pure per il detto S' r -3 , onde per que- 

 st' S',._ 3 passerà la k' o il detto S,._a . Ala non vi passa k', perchè la totale intersezio- 

 ne di k' con 7 è data dalla V (mentre, come abbiamo osservato, S)._ 3 appartiene a y ), 

 quindi per S',._ :ì passerà 1' S r —2 . Infine, siccome quest' S t —2 appartiene a E, così anche 

 S',._ 3 apparterrà a E, cioè S' r _ 3 coincide con 1' unico spazio S r -3 che "f ha in 2 fuori della 

 varietà y k L . In altri termini : 1' iperpiano S' , di //, passa per quest' S r -z ■ 



Ciò posto, fissato un punto generico P di k ', V ipersuperficie, del fascio ( I>, passante 

 per P, contiene di li la V' e il punto P, e quindi la contiene interamente, cioè k' è una delle 

 varietà, ad r — 2 dimensioni, ottenute secando le ipersuperfìcie di <1> con gì' iperpiani 

 passanti per S,—3 , cioè le varietà k non sono diverse da quelle studiate nel n° precedente. 



Concludiamo dunque che ( 28 ) 



( 26 ) Infatti la sezione di 7 col detto iperpiano, deve appartenere alla traccia, in questo, dell' ipersuper- 

 ficie di <1> che contiene la detta k. traccia che è formata da questa k medesima e da un Sr—ì che ha in co- 

 mune con f soltanto Q. 



C r ') Qui si fa uso della proposizione, evidente, che se della base di un fascio d' ipersuperficie d' ordine 

 ni + / > fa parte un Sr— z > ogni ipersuperfìcie d' ordine m + / che passi per la parte rimanente, di detta 

 base, passerà (in generale) anche per quest' Si— s ■ 



( 2S ) Per r—3 questa congruenza fu incontrata, fra quelle di curve piane aventi una sola curva singo- 

 lare, da 



GODEAUX, Sulle congruenze lineari di curve piane dolale di una sola curva singolare [ Rendiconti 

 del Circolo Matematico di Palermo, tomo XXXIV (1912)]. 



