Ricerche sulle congruenze di /-',— 2 che ricoprono semplicemente /' S,. 



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In altri termini : ogni cubica di T si ottiene conducendo per O un piano % ad arbitrio, e 

 poi costruendo la cubica avente come doppio e passante pei 6 punti 7t 7. Si noti che 7, 

 in generale, è irriducibile e di genere p = 3 ] intatti un piano 0) condotto per una delle 

 7 rette delle quali sopra si parla, seca ulteriormente in un fascio di cubiche, fascio che 

 ha 2'2 = 4 punti base riuniti in O, un altro punto base nel punto <ak l diverso da 0, e 

 i rimanenti 4 punti base in y. Ne segue che le 7 rette uscenti da O e che fanno parte 

 della base di sono corde della sestica y. Nè questa può avere alcun' altra corda pas- 

 sante per O, perchè una corda siffatta, incontrando ogni superficie di in 3 -}-/-)-/ > 4 

 punti, farebbe parte della base di questo fascio, ciò che è assurdo. Dunque 7 è una se- 

 stica di genere p = 3. 



Viceversa : una sestica gobba y di genere p = o, insieme con le 7 sue corde uscenti 

 da un punto generico O dello spazio, e insieme con una cubica k i avente questo punto 

 come doppio e 6- secante y, costituiscono la base di un fascio di superficie d'ordine 4 

 col punto O triplo. Infatti le superficie d' ordine 4 aventi come triplo e passanti per y 

 soddisfano a 10-\-(6'4 — 3-\-l) = 32 condizioni lineari. Inoltre ognuna di esse seca la 

 cubica k i in 3'2-\-6 = 3 4 punti, onde se le dette superficie si assoggettano a passare per 

 un altro punto di k t , esse contengono interamente questa cubica. Si ottengono così 32^-1=33 

 condizioni lineari, e quindi le dette superfìcie d'ordine 4 costituiscono un fascio E poi 

 evidente che le sette corde di 7 uscenti da O completano, insieme con y e k lt la base 

 di O, perchè ognuna di esse rette ha già in comune cinque punti con ogni superfìcie di 



Concludiamo dunque che 

 le cubiche le quali si appoggiano in 6 punii atl una sestica gobba di genere p =• 3, 

 e che hanno come doppio un punto dato fuori di questa curva, costituiscono una 

 congruenza d'ordine 1. 



E poi evidente che la classe di questa congruenza è v — 3. 



c) Per r — 4 ed in = 2 è degna di nota la congruenza ottenuta nell'ipotesi che la 

 superficie 7 (n° 36, c) si spezzi nella proiezione 7' della superficie di Veronese (da un 

 punto esterno), e nei tre piani passanti per una stessa trisecante / di 7' e ognuno secante 

 questa stessa superficie lungo una conica. Ogni quadrica della congruenza V e generata 

 dalle trisecanti di 7' poste in uno stesso iperpiano condotto per t\ cioè ogni k è la qua- 

 drica passante per una quartica di 2 a specie, di 7', il cui spazio passi per t (quadrica che 

 contiene questa retta). 



Del resto che questa congruenza sia d' ordine uno (anche se t fosse una qualunque 

 retta dell' S 4 ambiente), segue subito dall' osservare che per un punto generico dell' S 4 di y' 

 passa una sola trisecante di questa superfìcie ( 33 ). Che poi la congruenza sia di classe v= / 

 è evidente. 



§ 2. 



v = 2(?J 



38. La congruenza T, ancora di varietà iperpiane, sia di classe v = 2 ( ), cioè (n° 2) 

 sia Is = 2. 



( M ) CASTELNUOVO. Ricerche di (Scoine/ria della reità nello spazio a quattro dimensioni [ Atti "del R. 

 Istituto Veneto ili Scien/e, Lettere ed Arti : serie VII. tomo II (1891)], 7 e 8. 



Cfr. anche il mio lavoro : Sui complessi di rette del primo ordine dello spazio a quattro dimensioni 

 [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XXVIII. 2 seni. (1909)]. cap. I. 



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