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Giuseppe Mariella 



[Memoria VI.J 



Sono dunque da distinguere due ipotesi : 1—2, s=l i e /=/, s=2\ la congruenza T 

 sarà detta rispettivamente di l a e di 2 a specie. 



39. Sia r di l a specie. 



Gli oo 2 iperpiani delle varietà k son tali, dunque, che ad una retta generica data ne 

 appartengono due, onde essi inviluppano un S r - 4-cono quadrico ( 34 ) che chiameremo fi. 



Esaminiamo l'ipotesi che fi sia generico, e consideriamo uno qualunque dei suoi S r —2. 

 Ogni iperpiano passante per questo contiene una (sola) varietà k, la quale, al variare del- 

 l' ipei piano, genera un'ipersuperficie d'ordine m-\-l. Facendo variare l' S r — % in quel si- 

 stema, dei due sistemi di siffatti spazi di fi, che lo contiene, si ottengono in tal modo 

 infinite ipersuperficie, d'ordine le quali formano un fascio <I> perchè la congruenza 



r è d' ordine /. 



Una qualunque ipersuperfìcie q> di <J>, seca fi nell' S.,—ì (direttore) e in una varietà resi- 

 dua (f = Vr-t l che appartiene alla base del fascio $ ; infatti per un suo punto generico P 

 passano già due ipersuperfìcie di fl> : la cp e quella che ammette come direttore 1' S r -2 (di 

 quel tale sistema) di fi passante per P. Concludendo possiamo dire che $ è un fascio di 

 ipersuperficie d'ordine m-\-l, tale che ognuna di queste seca fi nella varietà y fìssa e in 

 un S r _2 variabile in uno determinato dei due sistemi di siffatti spazi contenuti in fi. Vi- 

 ceversa è chiaro che un fascio d' ipersuperficie d'ordine m-\-l, tale che ognuna delle sue 

 ipersuperfìcie sechi fi in una varietà la cui parte variabile sia un S r -a di uno determinato 

 dei due sistemi di siffatti spazi contenuti in fi, genera una congruenza come la T in esame 

 mediante le V','L 2 , delle sue ipersuperficie, ognuna giacente in un iperpiano con uno, deter- 

 minato, degli S r _2 di fi. 



Concludiamo dunque 



di avere assegnalo in questo u°, nel caso generico , una costruzione della con- 

 gruenza r„ !)2 ( ™ ) di / a specie. 



40. Sia r — 3 e ni = 2. 



a) La congruenza T^i di l a specie, nell' S 3 , nell'ipotesi che la quadrica fi non sia 

 degenere, è dunque (n° 39) generabile nel modo seguente. 



Si consideri una quintica gobba 7 di genere p=2 tale che la quadrica Q in cui essa 

 giace non sia un cono, e due superficie cubiche irriducibili passanti per essa ; queste de- 

 terminano un fascio Una qualunque superficie di <& passa per una (sola) trisecante di y, 

 e viceversa questa retta appartiene ad una (sola) superficie di <3>. Si ottiene in tal modo 

 fra le trisecanti di y e le superficie di questo fascio una corrispondenza biunivoca; ebbene: 

 i piani passanti per le trisecanti di 7, secano ulteriormente le rispettive superficie corri- 

 spondenti nelle coniche della congruenza di l a specie richiesta. 



La curva base del fascio $ è costituita da y e da una quartica gobba y la quale, 

 avendo in comune con y otto punti ( 31 ) , è di genere p=l. Ogni conica k di T-2,2 si ap- 

 poggia in 2 punti a y e in 4 a f. 



Viceversa si vuole ora dimostrare che 

 date, con 8 punti comuni, una quintica gobba y di genere p— 2, tale che la qua- 

 drica in cui essa giace non sia un cono, e una quartica gobba ellittica y , le co- 



( 34 ) Per r = j i piani delle curve l: sono i piani tangenti di una rigata quadrica Q la quale non è un 

 cono, quadrica che, in particolare, può essere generata dalle tangenti di una conica irriducibile. 



( 35 ) Sono gli 8 punti nei quali f è secata dalla quadrica Q delle trisecanti di y. 



