Ricerche sulle congruenze di V r -2 che ricoprono semplicemente V S} 19 



niche bisecanti y e 4 -secanti 7' generano una congruenza Vì,ì ili 1* specie. 



Infatti le superficie cubiche soggette a contenere le due curve y e y' soddisfano a 18 

 condizioni lineari, onde esse superficie costituiscono un fascio <D. Inoltre una conica c bi- 

 secante y e 4 -secante 7', giacche incontra la base di O in 6 punti, appartiene ad una (sola) 

 superficie cubica di questo fascio; anzi poiché il piano di c seca la base ora detta in 9 

 punti dei quali 6 appartengono alla conica c, i rimanenti 3 apparterranno ad una stessa 

 retta la quale è quindi una trisecante della quintica y. Il teorema è dunque dimostrato. 



Questa congruenza di coniche, già incontrata (n° 26), corrispondente all'ipotesi che Q 

 sia una quadrica non degenere, sarà detta del 1° tipo. 



b) Supponiamo ora che la rigata quadrica &2 degeneri nell' inviluppo delle tangenti di 

 una conica irriducibile. 



Si osservi che in tal caso siccome un punto generico del piano it di Q non è sin- 

 golare, le coniche di T complanari con una generatrice ,g" di Q, incontrano g in due punti 

 fissi e precisamente generano una quadrica. Si ottiene così un fascio di quadriche, di 

 base y', riferite biunivocamente alle generatrici di Q. Il luogo dei due punti comuni ad 

 una di queste rette e alla quadrica corrispondente, è quindi una quintica y, di genere p = 2, 

 dotata di quattro punti doppi nei quattro punti icy ; la curva y, inoltre, è tale che è irri- 

 ducibile la conica inviluppata dalle rette contenenti . le ( sìngole ) coppie della g\ di essa 

 curva. Anche in 1 questo caso, dunque, le coniche di V sono bisecanti 7 e 4 - secanti 7'. 



Viceversa è facile dimostrare che 

 data una quintica 7 (di genere p = 2) con 4 punti doppi, tale che sia irriducibile 

 la conica inviluppata dalle rette contenenti le coppie della g\ di essa curva 7, e 

 data una quartica gobba di l a specie 7' passante pei quattro puliti doppi di y, le 

 coniche bisecanti y e 4 -secanti y' generano una congruenza r 2 ,a di l' L specie. 



Questa congruenza di coniche, già incontrata (n. 26), corrispondente all'ipotesi che Q 

 degeneri nell' inviluppo delle tangenti di una conica irriducibile, sarà detta del 2° tipo. 



41. Riprendiamo le considerazioni del n° 39. L' S r —i - cono Q ha due sistemi di S r -2 : 

 in un sistema questi spazi secano 7= V r —Ì in varietà VÌ-"-^ 1 , nell' altro sistema in va- 

 rietà Vr-s ■ Scelto uno qualunque S' degli S,—2 di questo secondo sistema, tutte le 

 k= Vr—%, della congruenza V, i cui iperpiani passano per S' , contengono tutte la V"-3 



che y ha in S'. Queste varietà k generano dunque un' ipersuperfìcie d' ordine ni passante 



, ni 1 



per la detta F"!_ 3 e per la varietà y = V r-i che ( 36 ) insieme con y costituisce la totale 

 base del fascio <J> (n° 39). Viceversa questa ipersuperficie ha in comune con 7, come parte 

 variabile, soltanto la sopradetta V"L 3 ; ne segue una proiettività fra le ipersuperficie d'ordine 

 ni, del fascio O' di base y', e gli S,—-2 di uno (determinato) dei due sistemi di siffatti spazi 

 di Q, e ogni k — V^s della congruenza T trovasi sopra un' ipersuperficie del fascio O' e 

 inoltre passa per la V"L 3 che questa ipersuperficie ha nell'S r _g ad essa omologo nella detta 

 proiettività. 



Questa nuova costruzione di T era nota per r = 3 e m = 2 ( 3T ). 



42. Sia r = 3 ed m — 3. 



( 3e ) La 7' è dunque la base di un fascio <I>' d' ipersuperficie d' ordine w. 



( 37 ) MONTKSANO, I. c. in ( 10 ), Nota I. n° 4, ove si ponga = 2. Tutti 1 tipi di congruenze lineari di 

 coniche furono assegnati dal AAONTESANO negl'importanti lavori citati. 



