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Giuseppe Mariella 



[Memoria VI. 



a) La congruenza Y-^ di l a specie, in S 3 , nell'ipotesi che la quadrica 9 non sia de- 

 genere, è dunque (n° 39) generabile come segue. 



Si consideri una curva gobba 7 d' ordine 7 e genere p — 6, e due superfìcie d'ordine 

 4 irriducibili passanti per essa; queste superfìcie determinano un fascio <£. Una superficie 

 di questo fascio passa per una (sola) ^-secante di 7, e viceversa una retta siffatta ap- 

 partiene ad una (sola) superfìcie di <ì>. Si ottiene così, fra le 4 -secanti di y e le superfì- 

 cie di questo fascio, una proiettività tale che i piani passanti per le -^-secanti di y secano 

 ulteriormente le superficie, rispettivamente corrispondenti a queste rette, nelle cubiche della 

 congruenza V. La base di <S> è costituita da y e da una curva y', d' ordine 9, la quale 

 è (n° 41) la base di un fascio di superficie cubiche; y' ha 18 punti comuni con 7, ed 

 è di genere p =10 ( 38 ). Le cubiche k, di T, si appoggiano, dunque, in 9 punti afe in 

 3 punti a y. 



Viceversa è facile dimostrare che 

 date, con 18 punti comuni, ima curva gobba 7 d'ordine 7 e genere p=6 tale che 

 la quadrica in cui essa giace non sia un cono, e una curva 7', base di un fascio 

 di superficie cubiche, le cubiche piane ognuna delle quali si appoggi in 3 punti 

 a y e in 9 pilliti a y' generano una congruenza Y^, di 1 & specie. 



Questa congruenza T-s^ si può anghe costruire (n° 41) in altro modo, come segue. 



Si stabilisca una proiettività fra le superficie cubiche di un fascio e le generatrici 

 di una rigata quadrica gobba 9. Le cubiche (piane) ognuna situata sopra una superficie 

 di O' e passante pei 3 punti nei quali questa superfìcie è secata dalla generatrice di 9 ad 

 essa omologa, generano la congruenza T^^ di l a specie richiesta. 



Questa congruenza di cubiche, corrispondente all'ipotesi che S sia gobba, sarà detta 

 del 1° tipo. 



b) Supponiamo ora che Q degeneri neh' inviluppo delle tangenti di una conica irridu- 

 cibile. 



In tal caso ragionando in modo analogo a come si fece n° 40 b), si ottiene un fascio 

 di superfìcie cubiche, di base 7', riferite bìunivocamente alle generatrici di 9. Il luogo dei 

 3 punti comuni ad una di queste rette e alla superfìcie cubica corrispondente, è quindi 

 una curva 7 d' ordine 7, di genere p=6, dotata di 9 punti doppi nei punti rcy', e tale che 

 sia irriducibile 1' inviluppo, di 2 a classe, delle rette ( 39 ) contenenti i gruppi della ( 40 ) gl di 

 essa curva 7. Anche in questo caso, dunque, le cubiche di V sono trisecanti y e 9 • se- 

 canti y'. 



Viceversa è facile dimostrare che 

 data una curva y d'ordine 7 [di genere p=6) con 9 punti doppi, base di un fa- 

 scio di cubiche, e tale che sia irriducibile la conica inviluppata dalle rette conte- 

 nenti i gruppi della g 3 di essa curva y, e data una curva 7', base di un fascio 

 di superficie cubiche, passante pei 9 punti doppi di y, le cubiche piane trisecanti 

 y e 9 -secanti 7' generano una congruenza F^q di l a specie. 



( 3S ) Di curve gobbe d'ordine v e genere p=io esistono due famiglie : cfr. HALPHEN. 1. c. in 

 ( 39 ) BERTINI, La Geometria delle serie lineari sopra una ntrz'a piana secondo il metodo algebrico 

 [Annali di Matematica, serie 2 a , tomo XXII], n° 44 a) ; 



AMODEO, Curve k-gonali [Annali di Matematica, serie 2 a . tomo 21° (1803)]. § 4' <")■ 

 f 4 ' 1 ) Cfr. BERTIN'I, I. c. in ( s;l ) n° 44 h), e AAAODEO. Curve k-gonali di s ma specie [Atti della R. Acca- 

 demia delle Scienze di Napoli, serie 2 a , tomo 9 (1899)]. 



