•Ricerche sulle congruenze di Pi— 2 che ricoprono semplicemente V S r 21 



Questa congruenza, corrispondente all' ipotesi che la rigata quadrica Q degeneri nel- 

 l' inviluppo delle tangenti di una conica irriducibile, sarà detta del 2° tipo. 



43. Sia r = 4 e ;;/ = 2. 



a) La congruenza T$ t t di 1* specie, dell' S 4 , nell'ipotesi che l' S -cono quadrico 

 non sia ulteriormente specializzato, è dunque (n° 39) costruibile come segue. 



Si consideri un S -cono quadrico Q e un'ipersuperficie cubica passante per un piano r. 

 di esso. L'ulteriore intersezione sarà una superficie y, d'ordine 5, secata secondo cubiche 

 dai piani di Q dello stesso sistema di ~, e secondo coniche dai piani dell' altro sistema; 

 due ipersuperficie cubiche passanti per y individuano un t'ascio Una qualunque ipersuper- 

 ficie di <D seca ulteriormente in un piano del primo dei due sistemi ora detti, e vice- 

 versa per uno qualunque dei piani di questo sistema passa una (sola) ipersuperficie di 

 Le quadriche ognuna appartenente ad una ipersuperficie di <!> e cospaziale col piano di 2 

 in essa ipersuperficie contenuto, generano la congruenza Ff,2 di l a specie richiesta. 



Questa congruenza è anche costruibile (n° 41) nel seguente modo. 



Si stabilisca una proiettività fra i piani, di uno stesso sistema, di un So -cono qua- 

 drico & e le iperquadriche di un fascio <£>. Le quadriche di queste, ognuna cospaziale col 

 piano di lì omologo all' iperquadrica di $ alla quale essa quadrica appartiene, generano 

 la congruenza T-z» di l a specie richiesta. 



b) In modo analogo a come si fece nei n 1 40 b) e 42 6), si potrebbe esaminare l' i- 

 potesi nella quale Q degeneri nell'inviluppo dei piani tangenti di un ordinario cono qua- 

 drico. In tale ipotesi la superficie y appartiene all' S 3 di questo cono, ed ha come doppia 

 la traccia, in questo spazio, di una superficie di Segre y'. Le iperquadriche del fascio 

 avente questa superficie pei- base, sono in corrispondenza proiettiva coi piani di 2 ; le 

 quadriche ognuna appartenente ad un' iperquadrica di questo fascio e cospaziale col piano 

 di & ad essa iperquadrica omologo, generano una IY2 di l a specie. 



44. Sia ora T una congruenza 1^,2 ('2) di 2 a specie (n° 38); le sue varietà le giac- 

 ciono dunque, a coppie, negl' iperpiani passanti per un S,— 3 fìsso che indicheremo con cu. 



Fissato un S r - 2 passante per <o. le infinite coppie di varietà A' esistenti negl' iperpiani 

 passanti per esso, generano un' ipersuperficie, d' ordine la quale al variare dell' S r _a 



in un dato iperpiano 2 (condotto per co) descrive un fascio #, la cui traccia in E è co- 

 stituita dalle due varietà k esistenti in questo iperpiano (fisse) e dal fascio, di S,— 2, di 

 centro co. 



Se P è uno dei punti comuni alle due k esistenti in uno stesso iperpiano, esso e 

 doppio per 1' ipersuperficie cp, di <£, che contiene le dette due varietà k ; è punto singolare 

 per r e, quindi, appartiene alla base di 3>. Ne segue che le V r —'i doppie delle ipersuper- 

 ficie di <&, coincidono tutte in una sola. Concludiamo dunque che le ipersuperficie di $ 

 sono d' ordine 2m -f- /, ed hanno tutte come doppia una stessa V™_ % ~ y che è la ba- 

 se ( 41 ) di un fascio d'ipersuperficie d'ordine m. Rimane quindi della base di <I>, a pre- 



(*') Infatti le varietà /- giacenti negl' iperpiani passanti per un dato Sr— 9 (per u>), secano questo in un 

 fascio 3 di l'y'—:\ . Ma fissato un di questi iperpiani. le V t — 2 passanti per !'■( secano S,--i in un fascio 

 che coincide con 3, perchè con questo ha in comune le k?S,—t e k"Sr—ì essendo k' e k 1 ' le due varietà k esi- 

 stenti in 2'; dunque tutte le V,—2, ognuna passante per un dato punto B di .SV-o e per una sezione qua- 

 lunque di 7 ottenuta con un iperpiano condotto per S r —s, secano questo spazio tutte in una stessa v'r-3 , 

 e quindi generano un'ipersuperficie d'ordine m. Ne segue senz'altro che f e la base di un fascio d'ipersuper- 

 ficie (d' ordine m). 



