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Giuseppe Mari et t a 



[Memoria VI.] 



scindere dalle due k esistenti in 2, una varietà y' (ad r — 2 dimensioni) d'ordine 2m-\- 1. 

 Viceversa è chiaro che dato un fascio <I> d'ipersuperfìcie d'ordine 2m-\-l, della cui base 



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facciano parte: come doppia una V^ l _ 2 = y secata da ogni iperpiano passante per un 

 certo S,—3 = cu nella base di un fascio di V2L 2 generalmente irriducibili, e (come semplici) 

 due di queste varietà appartenenti ad un iperpiano 2 passante per co, ogni ipersuperfìcie cp 

 di <E> avrà un S r -% in 2, e ogni iperpiano condotto per quest'S r _2 seca ulteriormente cp in 

 due varietà k, d' ordine in, le quali al variare di cp , in $, generano una congruenza T 

 come quella che sopra abbiamo esaminata. 

 Concludiamo dunque 



di avere assegnalo, in questo n°, una costruzione della più generale congruenza 

 r m ,2 (a) di 2" specie. 



45. Per r=3 e in— 2 si ha la congruenza, di coniche, I\a d'ordine /, classe 2, e 

 di 2 a specie; essa dunque si costruisce come segue. 



Data una quartica gobba di l a specie 7, si considerino due coniche c e e -/-secanti y 

 e poste in uno stesso piano 2. Due superficie d' ordine 5, ognuna passante per queste due 

 coniche e avente y come doppia, determinano un fascio Le coniche delle superficie di 

 0, ognuna complanare con la retta che ha in 2 la superficie di O nella quale essa conica 

 giace, generano la congruenza Y^^ di 2 a specie richiesta. 



La base di <£ è completata da una quintica 7' la quale insieme con 7 costituisce la 

 base di un fascio ( I>" di superficie cubiche ( 42 ), onde 7' è di genere p =2 ed ha 8 punti 

 comuni con y, come del resto si può dimostrare direttamente. 



Le coniche della congruenza T^a si appoggiano in 4 punti a 7 e in 2 a '( ( 43 ). 



.Si noti, infine, che un piano condotto ad arbitrio per il punto co centro del fascio di 

 rette che Q ha in 2, seca 7' in 5 punti dei quali uno è co , e i rimanenti sono divisi in 

 due coppie una per ognuna delle due coniche k esistenti nel detto piano. 



Ne segue che ciascuna di dette coppie è collineare con cu, cioè la rigata quadrica Q 

 cui appartiene y' è un cono (irriducibile di vertice co). 



Viceversa vogliamo dimostrare che 

 date, con 8 punti comuni, una quartica gobba di / a specie 7 e una quintica gob- 

 ba 7' di genere p=2 appartenente ad un cono quadrico, tutte le coniche 4 -secanti 

 y e bisecanti y' generano una congruenza T?^ di 2 a specie. 



Infatti per il vertice co del cono quadrico su cui giace y', si conduca un piano arbi- 

 trario tc; in esso i quattro punti xy e i cinque iq' costituiscono (n° 40, a) la base di un 

 fascio di cubiche. Inoltre, siccome uno dei punti 7:7' è il punto co e gli altri quattro sono 

 divisi in due coppie ognuna collineare con oj, segue che ciascuna di queste coppie giace 

 in una conica coi quattro punti xy. Si ottengono in tal modo due coniche c e e, ognuna 

 delle quali non ha punti variabili comuni con le quadriche passanti per y, nè con le su- 

 perfìcie cubiche passanti per 7 e y'. Ciò posto siano 8 e 8' quelle, delle quadriche ora 



( 42 J Sia-, infatti, la quadrica passante per 7 e c ; delle superficie di <I> ne esiste una spezzata nella & 

 e m una superficie cubica ò passante per 7 e 7' (oltre che per c'). Analogamente sia 6' la quadrica passante 

 per 7 e c : delle superficie di $ ne esiste una spezzata nella 8' e in una superficie cubica <]>' passante per 

 7 e 7' (oltre che per e). Ne segue senz' altro che 7 e 7' costituiscono la totale intersezione delle due superfi- 

 cie cubiche 'i> e <!/, e da ciò segue quanto volevasi dimostrare. 



( 43 ) Infatti un qualunque piano ic contenente (due) coniche di F. seca 7' in 5 punti, uno dei quali è il 

 punto 10 centro del fascio di rette che <3> ha in 2. 



