Ricerche sulle congruenze di V r -% che ricoprono semplicemente V S r 23 



-dette, contenenti rispettivamente c e c, e siano e c|/ quelle, delle dette superfìcie cubi- 

 che, contenenti rispettivamente queste stesse coniche. Evidentemente il fascio ( I> determi- 

 nato dalla superficie composta — [ — cj»' e dalla O'-j-^j na la base costituita da y (come dop- 

 pia), y', c, c . Se, infine, si osserva che ogni conica 4 - secante y e bisecante y' appartiene 

 ad una (sola) superficie di <!> , possiamo concludere (n u 44) che il teorema propostoci è 

 stato dimostrato. 



Questa congruenza, corrispondente all'ipotesi che Q sia un còno quadrico non dege- 

 nerato in un fascio di rette doppie, sarà detta del 1° lipo. 



46. Una qualunque quadrica del fascio 0' di base y (n° 45), seca ulteriormente y' in 

 due punti collineari col punto « ; assumeremo la retta di questi punti come corrispondente 

 della detta quadrica. Evidentemente rimane così stabilita una proietti vita fra le quadriche 

 di O' e le generatrici del cono quadrico (di vertice od) su cui giace la quintica y'. Le co- 

 niche della congruenza r 2 ,a (del 1° tipo) sono quelle ognuna delle quali giace in una qua- 

 drica di <&' e passa per la coppia di punti che questa superficie ha in comune con la ge- 

 neratrice, del cono, ad essa stessa quadrica omologa. 



Si ritrova così una nota ( 44 ) costruzione della' congruenza di 2 a specie e del 



1° tipo. 



Confrontando questo risultato con quello del n° 41 (per r—3 e m—2), si può con- 

 cludere che le due congruenze di coniche del 1° tipo (e di l a o di 2 a specie), am- 

 mettono una stessa costruzione, con la sola differenza che nella T?^ di l a specie la rigata 

 quadrica 2 cui appartiene la quintica gobba (di genere p—2) bisecata dalle coniche della 

 congruenza è gobba, mentre nella 1^$ di 2 a specie la rigata quadrica 2 è un cono. 



47. Ragionando analogamente a come si fece nel n° 40 b), è facile dimostrare che 

 se la rigata quadrica 2 degenera in un fascio di rette doppie, le coniche di T^i sono 

 4-secanti una quartica gobba di l a specie y', e bisecanti una quintica 7 (di genere p=2) 

 avente come doppi 4 punti (complanari) di y'; inoltre l'inviluppo, di 2 a classe, generato dalle 

 rette e contenenti le coppie della gl di y, degenera in un fascio di rette doppie. 



Viceversa 



data una quintica y (di genere p = 2) con 4 punti doppi, tale che V inviluppo, di 

 classe 2, generato dalle rette contenenti i gruppi della gl di essa curva dege- 

 neri in un fascio doppio , e data una quartica gobba di l a specie 7' passante pei 

 quattro punti doppi di 7, le coniche bisecanti y e 4 - secanti 7' generano una con 

 gruensa di 2 a specie. 



Questa congruenza, corripondente all' ipotesi che la rigata quadrica 2 degeneri in un 

 fascio di rette doppie, sarà detta del 2° tipo. 



48. Per r—3 e m=3 si ha (n° 44) che la congruenza ^,6 (d'ordine 1, classe 6 e 

 di 2 a specie) di cubiche piane si costruisce come segue. 



Data una curva y base di un fascio di superficie cubiche, si considerino due cubiche 

 c e c 9 -secanti 7 e poste in uno stesso piano S. Due superfìcie d'ordine 7, ognuna pas- 

 sante per queste due cubiche e avente 7 come doppia, determinano un fascio Le cubiche 

 delle superficie di <E> ognuna complanare con la retta che ha in £ la superficie di $ nella 

 quale essa cubica giace, generano la congruenza r 3i6 di 2 a specie richiesta. 



La base di è completata da una curva y' d' ordine 7 la quale insieme con 7 co- 



i u ) MONTESANO, 1. c. in Nota I, n° 4 ultime righe per |jl = 2. 



