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Sebastiano Velia 



Ammettiamola vera allora per un numero qualunque n di elementi distinti e dimo- 

 striamola tale per n -\- 1 elementi : 



3. Immaginiamo scritte le // / permutazioni dei primi // elementi e consideriamo, in 

 ognuna di esse, 1' elemento a n+ i all' (n-\-l) mo posto. 



Oltre alla fondamentale, vi saranno permutazioni dei tipi : 



^2 1 I s i > ì "—1 ' *n 



Sia P una permutazione qualunque del tipo I n __ n (li n — 2). Essa può porsi sotto 

 la forma : 



D t a. D 2 D h a. D h+Ì a n+l 



il ih 



essendo: a. , , a. , a n _ x gli elementi che non hanno cambiato posto, e: 



D l , D , , , ZJ/,4.! certe disposizioni dei rimanenti 11 — li elementi, rispettivamente 



delle classi k ì , k., , , k,, +l con : 



k K J - r ks + + ku+i — il — lì 



Nella permutazione P scambiamo ora 1' elemento a n+ì coi precedenti. Delle permuta- 

 zioni che così si ottengono, quelle che provengono dallo scambio di a n+l con ciascun ele- 

 mento delle disposizioni , D hlrX , non possono presentare, oltre ad «.,...., a. , 



'1 ih 



nessun altro elemento al posto corrispondente al proprio indice, perchè lo scambio av- 

 viene sempre tra a n+ .\ ed un elemento di indice più piccolo ; esse sono quindi del tipo 



Le altre permutazieni che si deducono dalla P scambiando a ll+} con ciascun ele- 

 mento a. , , a. , sono del tipo I n -u-t-2 ■ 



«i th 



Se si vuole quindi che da una permutazione del tipo I n -n s ' abbiano delle permuta- 

 zioni del tipo , è necessario che // non prenda altri valori che 0, 1 ; in altri termi- 

 ni, le permutazioni del tipo I nr) , si hanno solo da quelle del tipo I„ e da quelle 

 del tipo [ n _] ; e noi ci proponiamo di fissarne il numero. 



4. — Le permutazioni del tipo /„_] sono caratterizzate dall' avere, oltre ad a n ^ , uno 

 solo dei primi 11 elementi al posto occupato nella permutazione fondamentale, mentre gli 

 altri // — 1 elementi hanno cambiato posto. 



Essendo allora I n _i il numero delle permutazioni di 11 — 1 elementi del tipo I n _ x , dal 

 n° precedente risulta che vi sono nI n -\ permutazioni nelle quali uno solo degli elementi 



, a 2 , , a n non ha cambiato posto. 



Da una qualsivoglia di queste, scambiando l' elemento <7„ 41 coi precedenti si ottiene, 

 come risulta dal ragionamento tenuto nel n° precedente, una sola permutazione del tipo 

 J n+1 , e però in tutto n.I n _i . 



