Alfredo Catalìoiti [Memoria VIII.J 



di c, su ognuno dei quali cadono (su tre rami) tre punti coniugati della g\ ed infine le x 

 rette; contate due volte, che da P proiettano i punti c x w ; ove c x è la curva luogo dei 

 punti doppi delle cubiche di (k). 

 Si ha dunque : 



4// = 6|xs -4- ò -f- 28' -f 65" + 2x ( 1 ) 



ove è : 



Ò = 2(p c + 2) (2) 



indicando con p il genere della curva c. 



Da queste due eguaglianze eliminando 8 si ha : 



p c = 2(n- l) - 3\is — l' - 3%"—x (3) 



3. Da quanto al n. 1 è stato detto, segue che si ha sempre : p,. > o. 

 Allora, in virtù della (2) sarà b ^6 t quindi per la (1) 4// — 6\i.s>^6 da cui: 



z 'In 3 



11 ^ ■ (4) 



4. E noto (*) che se 1' inviluppo {%) è stellare, detto V il suo punto base, 



a) Se V non appartiene alla superficie y, allora è |x = — ; 



b) Se Ve /-pio per y, ma non punto base per (k) allora è \i = — ; 



c) Se V è /-pio per 7, e punto base semplice per (k), allora è |J. = " 1 ; 



d) Se F è /-pio per 7 e punto base doppio per (k), allora è jx = " 7 . 



5. Superficie con un fascio di cubiche piane razionali, e d' ordine // qualunque, si 

 costruiscono col seguente procedimento geometrico : 



Siano (it) e (/.) due sistemi algebrici irriducibili di piani il primo e di superficie cubi- 

 che rigate il secondo e se le (yj sono coni, siano esse razionali. Dicansi |i e v i loro in- 

 dici, rispettivamente e supponiamo che sia stabilita fra i loro elementi una corrisponden- 

 za (/>, 5) ; 



Il luogo della cubica comune a due elementi omologhi, è una superficie 7 d' ordine 

 11 = 3\i-s -(- vp, con un fascio di cubiche (evidentemente) razionali. Queste sono tali che 

 in ogni piano di (tc) ne esistono 5 e ad ogni superficie di (7) ne appartengono p. Gene- 

 ralmente la multiplicità per 7 di un punto base soltanto per (y) è |is ; la multiplicità di 

 un punto base soltanto per (tc) è vp : la multiplicità, infine, di un punto base per ambe- 

 due i sistemi (tc) e (yj è jxs --f- vp. 



6. Se nel n° precedente si pone, per es. \>- = 2, s=v=p = ] supponendo inoltre 

 che le (y) siano superfìcie cubiche generali dotate di un punto doppio comune, punto che 



(*) Cfr. G. MARLETTA « Delle superficie algebriche d' ordine 607 con un fascio di cubiche ellittiche» 

 [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XLI anno 1916]. 



