Delle su pei fìcie d'ordine 60/ con infinite cubiche piane razionali 



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sia base per l'inviluppo {%), si ottiene una superfìcie d'ordine 7 dotata di un fascio (k) 

 di cubiche piane razionali, aventi in comune il punto doppio. 



Infatti la curva base di (yj è doppia per 7 e d' ordine 9, onde y è a curve sezioni 



di genere : | ^ j — 9 = 6. 



7. Un' altra costruzione è la seguente : 



Fissati i due sistemi (%) e (yj di piani il primo e di superficie cubiche (generali) il 

 secondo, si chiamino corrispondenti un piano di (it) ed una superfìcie di (•/) ogni qual- 

 volta si tocchino : 



Il luogo delia cubica comune a due elementi omologhi, è una superficie con un fa- 

 scio di cubiche piane (evidentemente) razionali. 



Si noti però che i numeri p, s, non possono ora scegliersi in maniera arbitraria. 



Per ;jl = v = 1, per es., si avrà p = s= 12, e quindi la superfìcie generata in tal 

 modo sarà d' ordine n = 48. 



Detto infatti p un piano generico di (ir), le / segnano su p un fascio di cubiche ellit- 

 tiche, e poiché in un fascio di curve d' ordine /// esistono in generale 3 {in — l) 2 curve a 

 punti doppi, deduciamo che è s = 12. Analogamente, poiché una superfìcie d' ordine ni è 

 in generale di classe /// (/// — If, ad una superficie di y corrispondono 12 piani di (7r), 

 cioè è p = 12. 



8. Sia ora y d' ordine n = 6 (e non rigata). 

 Dalla (4) si deduce ;a << 4. 



Per jj. = 5, la (3) (tenendo presente che per la (4) è 5= 1) diviene: 



e dall'osservazione fatta al n° 3, segue che 1' ipotesi |J. = 3 è solo possibile nel caso che 

 sia x = (oltre che ò'=ò" = o), cioè che esista un punto V che sia doppio per tutte 

 le cubiche di (k). In tal caso V è (n° 4, d) triplo per y. 



Sia dunque Ò' = 8" = „v = o, p u =l 1 (%) evidentemente conico. 



Dai noti (*) tipi di sistemi lineari di curve piane ellittiche, si deduce che 7 non può 

 essere che proiezione della superficie y i dell' S 6 , rappresentata nel piano del sistema li- 

 neare di cubiche | XJ23 1 ove i pumi 1,2,3, sono collineari. 



In fine di questo numero diremo la ragione di questa collinearità. 



Scelto un punto arbitrario P del piano rappresentativo p, al fascio di l'ette avente 

 il centro in esso, corrispondono oo 1 cubiche di fi appartenenti ad un fascio (k { ). Proiet- 

 tando nello spazio ordinario la y, da un piano co che abbia un punto comune con lo spa- 

 zio di ogni cubica del fascio (/?,), si ha la '{ contenente un fascio (le) di cubiche piane 

 razionali. Si scelga per co uno generico dei piani incidenti la retta r =■ 0, P t , comune a 

 tutti gli S 3 delle cubiche di (k\ ) ; ove con O l si è indicato il punto (doppio) di y 4 la cui 

 immagine è la retta V m , e con P, il punto la cui immagine è P. La traccia dello spa- 



(*) Per questi tipi, dati la prima volta da G. CUCCIA, cfr. p. es. G. FERRETTI « Sulla riduzione al- 

 l'ordine 'minimo dei sistemi lineal i di curve piane irriducibili di genere p, in particolare pei valori 0,1,2, 

 del genere » [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo tomo XVI (1902) pp. 236 — 279 e precisamente 

 teorema X]. 



•, . = / — 8' 



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