4 



Alfredo Cataliotli 



| Memoria Vili.] 



zio ordinario 2 = cor nell' S 3 di y, sarà un punto V triplo per y (perchè 3 sono i punti 

 2y t ) e base doppio per (k), perchè in V si proiettano i punti P t ed { punti ambidue 

 comuni a tutte le cubiche di (k L ). 



Dimostriamo ora che la V K generata dagli oc 1 spazi delle cubiche di (&,), è d'ordine 

 3. Indicheremo da ora in poi con <J> la varietà generata come sopra. 



Sia infatti co ( uno generico dei piani bisecanti y i , ed indichiamo con A,B,C, le im- 

 magini dei tre punti y i . 



Osserviamo che affinchè co t incontri lo spazio di una cubica del fascio (k { ) , occorre 

 e basta che questa cubica, e i tre punti o> t T t appartengano ad uno stesso iperpiano cioè 

 i tre punti A, B, C, e la retta uscente dal punto P, immagine di detta cubica, apparten- 

 gano ad una stessa Xi 23 . Ora, ciò è impossibile se questa retta non passa per alcuno dei 

 punti A, B, C, perchè questi e i punti 1, 2, 3, non giacciono in una stessa conica. Dun- 

 que le immagini delle sezioni iperpiane ognuna passante per una cubica del fascio e 

 pei tre punti m l 7, sono : 



Ne segue che <E> è d' ordine 3. 

 Facciamo ora vedere che è \>. = 3. 



Consideriamo a tal fine, lo spazio ordinario S, individuato dal piano cu, centro di 

 proiezione, e da un punto A dello spazio di 7. 



Esso seca ^ in una curva c d' ordine 3 la quale come è facile vedere (considerando 

 un S y della V\ passante per un punto generico di c) si spezza in tre rette tracce in 2 t 

 di tre spazi delle cubiche di (k^. 



Ora i tre S 5 individuati da S 4 e rispettivamente dai tre spazi ora detti, secano 1' S 3 

 di y in ue piani che evidentemente passano per A, eppeiò |J- = 3. 



Diamo infine ragione della collinearietà dei punti 1,2,3. 



Invero se i punti 1,2,3, sono generici, è impossibile scegliere co in modo che abbia 

 comune con ( I> un solo punto O r Infatti per questo dovrebbero passare tutti gli S 3 del- 

 le ma allora due qualunque di questi spazi avendo comuni due punti distinti Oi e P i 

 apparterrebbero ad uno stesso iperpiano, e ciò è assurdo se i punti 1,2,3, non sono col- 

 lineari. Vedremo in seguito (n° 10) che se co ha comune con non un punto, ma una 

 retta, l'inviluppo (it) è di classe \i = 2. 



9. Sia \i. — 2, e quindi per la (4) s = l. (*) 



Il punto base V di (te) dunque (n° 4) non appartiene a 7, o è doppio per 7 e punto 

 base semplice per (k), ovvero è quadruplo per 7 e base doppio per {k). 



La ulteriore intersezione di 7 con un piano di (%) è una cubica irriducibile, la quale 

 (come facilmente si verifica considerando i due piani di (ic) passanti per un punto gene- 

 rico di y) appartiene ad un fascio {k'). 



Ora, poiché per x = Ve quadruplo per 7 e doppio per {k), sarà anche doppio per 



^pb M23 



■ai; 



(*) Giacché per |i— j e [>- = 2 è s = i, (~) ha il genere eguale a quello di {k) ; quindi se si volesse 

 togliere la restrizione della razionalità di (/<), e quindi di 7, non rimarrebbe che considerare 1' ipotesi che (tc) 

 sia, con (J-=j, (stellare ed) ellittico. 



