Delle superficie d' ordine 6 o 7 con infinite cubiche piente rasionvli 5 



(k'), cioè la superficie f è dotata di due fasci (k) e {k') di cubiche piane razionali, aventi 

 V come punto base doppio comune. 



Per |jl — 2 ed 5 = / la (3) diviene : 



p c — 4 — h' — 38" — x . 



Esaminiamo ora tutti i casi possibili perchè essa sia verificata. 



10. Sia 8' = o, h"—o, x=3, p c — l. 



La superficie Tf è ancora proiezione della y, dell' S s rappresentata nel piano dal si- 



! - 3 [ 



stema lineare di cubiche | X 1?3 | (ove però i punti 1, 2, 3, non sono più collineari ). 



Come piano co centro di proiezione si sceglierà un generico piano condotto per la 

 direttrice d della rigata cubica normale cp totale intersezione della varietà con un S 4 

 generico. 



Facciamo ora vedere che è \i — 2. 



A tal fine basta ripetere il ragionamento fatto al n° 8, osservando soltanto che delle 

 tre lette in cui si spezza la curva c = 2 t O una è la d, mentre le altre due rette sono 

 anche in questo caso le tracce in di due spazi delle cubiche di (ki). 



I due S 5 individuati da S 4 e rispettivamente dai due spazi ora detti, secano l'S 3 di 1 

 in due piani passanti per A, epperò |J. = 2. 



Che sia x = 3 segue dal fatto che essendo generico l' S 4 con il quale sechiamo O, 

 la direttrice d di cp non incontra i piani delle coniche delle tre cubiche degeneri di (ki) 

 onde è 8' — 0. Infatti, poiché come rilevasi dalla rappresentazione, ognuno di questi tre 

 piani non giace nell' S 4 degli altri due, così una generica retta incidente questi non in- 

 contra il primo piano, onde i punti nei quali S 4 seca i detti tre piani non sono collineari. 

 Se poi fosse 8' = 1, io dovrebbe avere una retta comune con lo spazio di una cubica di 



contro la supposta genericità di co. 



11. Sia 8' = /, 8" = o, x = 2, p c = l. 



Per il presente caso c' è da ripetere quanto al n° precedente è stato detto. 



Osserviamo soltanto che la direttrice d di cp deve incontrare lo spazio di una cubica 

 degenere di (A',) in un punto del piano a 4 della conica che di essa cubica fa parte. 



A tal uopo basta secare cp con un S 4 passante genericamente per una generica retta 

 di Oj . 



12. Sia ti — 2, b" = o, x = l,p c — I. 



Questo caso si esclude. Cominciando dall' osservare che i piani o t , a,, a 3 delle co- 

 niche delle tre cubiche degeneri di (# t ) appartengono ad uno stesso S & , poniamo, per 

 esempio, a t a 2 = S 4 , S i a 3 = r 3 . Siano ì\ ed r 2 due generiche rette di o L e a 2 e sia 

 S 3 = r t r 2 . Quest' S 3 seca a 3 solo nel punto (9., = S 3 r 3 . Infatti se 1' S 3 ora detto incon- 

 trasse o 3 in un altro punto M non appartenente ad r 3 , V S i =.o l a 2 avendo in comune 

 con a 3 la retta r 3 ed il punto M, conterrebbe c? 3 ciò che non è. (*) Se ora conduciamo 

 per 1' S 3 = i\ r 2 un S 4 generico, e sechiamo con questo la la direttrice d di cp = S 4 <I>, 

 dovendosi appoggiare ad >\ ed r 2 apparterrà all' S 3 di queste 2 rette, onde incontrerà lo 

 spazio della terza cubica degenere nel punto :ì di c 3 . 



(*) È poi ovvio che I ' .S' ;i = r, r s non possa contenere ; ;i . Infatti questa retta passa per I\ onde P± ap- 

 parterrebbe a quest' ,S 3 il che è assurdo perchè a questo apparterrebbero i piani 3, = P i r ì e 3, ~ l ( >-., . 



