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Alfredo Caialiotli 



(Memoria Vili.] 



Concludiamo che se d incontra o L e a., , incontra anche o 3 ; onde il presente caso si 

 esclude. 



13. Sia o=3, b" = o, x = o, p c = I. 



Questo caso si esclude. Infatti, essendo x = o, il fascio (k) ha un punto base dop- 

 pio V: questo è proiezione non soltanto del punto di y, avente P per immagine, ma an- 

 che di un altro punto di una (k L ) qualunque. Se quest' altro punto fosse variabile esso 

 descriverebbe una curva dell' S 3 = toF ciò che è assurdo perchè co incontrerebbe "f 1 . Dun- 

 que detto punto è fisso e la sua immagine deve essere la retta ì-m , cioè i punti 1,2,3, 

 sono collineari. Detto O y questo punto sia i\ = O l P 4 . 



Un piano incidente ì\ incontra tutti gli S 3 di (k^, ma perchè risulti 8 =3 è neces- 

 sario che assunto tale piano quale centro di protezione, esso incontri gii spazi delle tre 

 cubiche degeneri di (kj in tre punti dei piani o l , a 2 , o 3 . Ora, nel caso in questione r t 

 incontra o i , o., , a 3 , in tre punti coincidenti nel punto P i e poiché questo appartiene a f it 

 il piano co, centro di proiezione, non può incontrare in esso r L . 



Se poi co incontrasse o L , a 2 ■ a 3 , oltre che la retta r i in M l , essendo M l un punto 

 generico di r L , ne verrebbe evidentemente o" = 3 e non o' = 3. 



14. Sia ò' = o, 5" = /, x = o, p,.= J. 



Essendo x = o, i punti 1,2,3, saranno (n° prec.) collineari. 



Il piano to, oltre che incontrare r, ~ (9 t P l in M l deve avere un altro, punto lV l co- 

 mune con lo spazio di una cubica e di Al n° 8 è stato dimostrato che è O d'ordi- 

 ne, 3, e poiché in questo caso co contiene la retta s L = M\ N { di *D, l' inviluppo (x) sarà 

 di classe \>. = 3 — 1 = 2. 



Il punto V risulterà quadruplo per 7 perchè proiezione del punto (doppio) { , del 

 punto P K e del terzo punto ulteriore intersezione del piano r L s l con la cubica c. 



15. Sia b' = o, ò" = o, x = 2, p,_. = 2. 



Allora 7 è proiezione della superficie y, dell' S 5 rappresentata nel piano dal sistema 

 lineare di quartiche I ^i'- , 2345 6 7 | • 



Al fascio di rette avente il centro in uno dei punti base semplici del sistema, per es. 

 nel punto 2, corrispondono co 1 cubiche razionali di Y t appartenenti ad un fascio (k L ). Pro- 

 iettando nello spazio ordinario la Y± da una retta che abbia un punto comune con lo 

 spazio di ogni cubica del fascio si ha la y contenente un fascio (k) di cubiche pia- 



ne razionali. 



Considerando una generica corda di y t e ragionando in modo analogo al n° 8 si 

 prova che <J> è d'ordine 2, e precisamente un S^cono quadrico. 



Infatti, detto 2 un generico S 3 di ( I> ; un S 4 passante per 2 seca # in un altro spa- 

 zio 2' avente in comune con 2 un piano. Al variare dell' S 4 intorno a 2 si ottengono in 

 questo oo 1 piani, tracce degli S 3 di ( D. Evidentemente per un punto generico di 2 di 

 questi co 1 piani ne passa uno solo, onde essi appartengono ad un fascio il cui asse 5 è 

 comune a tutti gii S 3 di Rimane così provato che $ è un S r cono quadrico. Faccia- 

 mo ora vedere che s non appartiene a y 4 . 



E noto che nell' S 5 un Sj-cono quadrico ammette due sistemi distinti di S 3 genera- 

 tori, dei quali uno è quello degli spazi delle cubiche di (kj. Consideriamo ora la totale 

 intersezione dell' S 4 EEE 22' con y t : la ^234567 corrispondente, si spezzerà in una retta 



