Delle superficie d' ordine 6 o 7 con infinite cubiche pinne razionali 1 



passante pel punto 2 ed in una cubica passante pei punti l 2 , 3, 4, 5, 6, 7 e questa rap- 

 presenta una cubica razionale che evidentemente appartiene a 2. 



Ed ora, poiché V S 4 considerato, non può secare la y, in più che una curva d' ordi- 

 ne 6, e già la seca in due cubiche, segue che s non può appartenere a y, • 



Una generica retta incidente s è allora il richiesto centro di proiezione o. 



Poiché o non appartiene a <I>. sarà 1' ordine di questa eguale alla classe di (~), sarà 

 cioè \>. — 2. Il punto base V di (~) non appartiene a y. 



Perchè vi appartenga e sia doppio per questa basta considerare la f l di cui sopra ove 

 sia X| (17 . 



16. Sia 5' = /, b" = 0, x = l, p c = 2. 



Per il presente caso ci riferiamo al n° precedente osservando solamente che la retta 

 o deve incontrare s nel punto che questa ha comune con il piano della conica di una 

 cubica degenere del fascio (kl). E bene notare che tale punto non può appartenere alla 

 detta conica e quindi a y i . Infatti se ciò si verificasse per una conica e quindi per tutte 

 e 6, se ne dedurrebbe che 5 incontra y i in sei punti i quali sono distinti perchè due qua- 

 lunque di queste coniche non hanno alcun punto comune ; ciò che è assurdo, perchè s 

 apparterrebbe a f,. 



17. Sia 8' = 2, b"=o, x = o, p L . — 2. 



- 2 1 - 1 



Si consideri la f l del n° 15 ove sia ^• I 2 3 4S 6 • Ee A. , A. I56 in cui questa si spezza, 

 sono immagini dì due punti V t e Vi comuni a tutte le ki e doppi per y 4 . 



Le coniche rappresentate dal punto l 2 e da X.2 7 passano per V± e J\' onde i loro 

 piani passano per la retta congiungente questi due punti. Se la retta o, centro di proie- 

 zione, incontra tale retta, sarà evidentemente b' — 2 ed il punto V risulterà base doppio 

 per (k) e quadruplo per Y, perchè in esso si proiettano i due punti V t e Vi doppi per 

 Yj e comuni a tutte le k i . Notiamo infine che per il fatto che non appartiene a <&, 

 1' inviluppo (%) sarà di classe jjl = 2. 



18. Sia b'=o, b" = o, x = l, p c = 3. 



Allora y è proiezione della superficie y L dell' S 4 rappresentata nel piano dal sistema 

 lineare di quartiche | ^123456789 | , (*) ove i punti 2, 3, ... . , 10 sono punti base di un fa- 

 scio (li) di cubiche. Al fascio di rette avente il centro nel punto 1 corrispondono oo 1 cu- 

 biche razionali di y, appartenenti ad un fascio (kl). 



Osserviamo che le cubiche del fascio (ki) sono piane. Consideriamo infatti una retta 

 generica del fascio di centro 1, immagine di una c\ delle cubiche di {kl). 



Essa, insieme con una delle oo 1 cubiche di (//) appartiene ad una X* ->il0 , immagine 

 di una sezione iperpiana di "fj : c l cioè appartiene ad oo 1 S 3 onde essa è piana. 



Proiettando nello spazio ordinario la fj da un pulito generico dell' ambiente si ha 

 la 7 con un fascio (k) di cubiche piane l'azionali. Considerando una generica corda di y, 

 con ragionamento analogo a quello tenuto nel n° 8 si prova che la varietà a tre dimen- 

 sioni generata dai piani delle cubiche di (kl) è un S„-cono quadrico e ciò d' accordo con 

 l'ipotesi \>. — 2. Il punto base V di (">, proiezione di S , non appartiene a 7. 



19. Sia x = 0, V = /, r — 0, p L . = 3. 



(*) Cfr. CASTE1.NUOVO « Sulle superficie algebriche le cui sezioni sono curve di genere J » [Atti della 

 R. Acc. di Scienze di Torino, Voi. XXV, (1890) pp. 695-715-] SCORZA « Le superficie a curve sezioni dì 

 genere j » [Ann. di Mat., serie III, tomo XVI (1909) pp. 255-326]. 



