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Alfredo Cataliotti 



[Memoria Vili. | 



Si consideri la del n° prec, ove sia X3 45678910 , conica questa che rappresenta un 

 punto V l quadruplo per yi e doppio per tutte le cubiche del fascio 



E facile vedere che la conica rappresentata da ì.\ 2 appartiene ad oo 2 sezioni iperpiane 

 ond' essa si riduce ad una retta doppia, passante pel punto V t . Proiettando nello spazio 

 ordinario la y l da un punto generico O dell' ambiente si ha una superfìcie come si richiede. 



20. Sia V = ò"=x = 0, po — 4. 



Si ottiene una siffatta superficie se, ferme restando tutte le condizioni di cui al n° 6°, 

 si supponga che esista un piano p di (ti) che faccia parte (semplicemente) della sua su- 

 perficie cubica omologa in (*/). 



§ 2. 



21. Sia ora y d' ordine u = 7. 

 Dalla (4) si deduce jx << 4. 



Sia dunque \i — 3 e quindi per la (4) S = J. 



L' inviluppo (%) può essere gobbo o conico. In quest'ultimo caso, detto V il suo punto 

 base esso è (n° 4) semplice per y e punto base (semplice) per (k), ovvero è quadruplo 

 per y e base doppio per (k). Per |x = 3 ed s = 1 la (3) diviene: 



p c — 3 — ò' — 38" — x , 



e siccome non può essere 8" > o, esamineremo soltanto 1' ipotesi p,. = 3 — 8' — x. 



22. Sia 8'=: o, x = 2, p c — l. 



La k è allora proiezione della superfìcie 71 dell' S 7 rappresentata nel piano dal siste- 

 ma lineale di cubiche | Àf 2 | . Scelto un punto arbitrario P del piano rappresentativo p, al 

 fascio di rette avente il centro in esso, corrispondono co 1 cubiche di y t appartenenti ad 

 un fascio (k^. Ne segue che per p c — l, anche per x^> 0, (~) è sempre conico. 



Proiettando nello spazio ordinario la y i da un S 3 che abbia un punto comune con lo 

 spazio di ogni cubica del fascio (&,), si ha la y contenente un fascio (k) di cubiche pia- 

 ne razionali. Detto Q lo spazio centro di proiezione, la sua effettiva esistenza si prova co- 

 me segue : 



Indicando con 2, lo spazio (ordinario) passante per 4 punti generici di y i e ragionan- 

 do in modo analogo al n. 8 si prova che la varietà $ è d' ordine 4. 



La sezione di con un S 5 generico è una rigata del 4° ordine la quale ammetterà 

 una retta od una conica direttrice ; un S 3 genericamente condotto per questa direttrice è 

 il richiesto spazio Q. 



Dalla genericità di Q segue 0' =2 0, e quindi x — 2. 



Ammettendo per un momento che la direttrice d della V\ = <E> S 5 sia una retta , ne 

 segue subito [i = 3, come si prova con ragionamento analogo a quello tenuto nel n° 10. 



Un S 5 infine che sodisfì alla sola condizione di secare in un piano 1' S 3 di una cu- 

 bica di {k { ), seca ulteriormente in una rigata cubica cp, la cui direttrice è la retta ri- 

 chiesta. 



23. Sia 8' = x =p c = J. 



Per il presente caso c' è da ripetere quanto è stato detto nel n° precedente . osser- 

 vando soltanto che la direttrice d di cp deve incontrare lo spazio di una cubica degenere 



