Delle superfìcie ci' ordine 6 o 7 con infinite cubiche piane razionali 9 



di (k L ) in un punto del piano o l della conica che di essa cubica fa parte. A tal uopo ba- 

 sta secare <$> con un S 5 passante per una generica retta di o l , e secante in un piano lo 

 spazio di una cubica di (fcj. 



24. Sia &' = 2, x — o, p = 1. 



Essendo x — o, il fascio (k) è dotato di un punto base doppio V. Questo deve es- 

 sere non soltanto proiezione del punto Pi , avente P per immagine, ma di un altro punto 

 Pi di una k t qualunque. Al n° 8 si è visto che P L ' non può essere variabile , e poiché 

 dalla rappresentazione si vede che esso non esiste, a prescindere da qualsiasi altra ragio- 

 ne concludiamo che il caso in questione si esclude. 



25. Sia V = o, x = 1, p c = 2. 



L' inviluppo (x) può essere gobbo o conico, ma nell' uno e neh' altro caso, la super- 

 , fletè non esiste. 



a) Supponiamo (x) gobbo. 



Allora y sarebbe proiezione della superficie dell' S tì rappresentata nel piano dal si- 

 stema lineare di quartiche X 4 , , . Al fascio di rette avente il centro in uno dei 



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punti base semplici del sistema, per es. nel punto 6, corrispondono oo 1 cubiche di y t ap- 

 partenenti ad un fascio (k t ). 



Proiettando nello spazio ordinario la y L da un piano to che abbia un punto comune 

 con lo spazio di ogni cubica di (k t ) si avrebbe la f con un fascio (k) di cubiche piane 

 razionali. Considerando un generico piano bisecante y t e ragionando come al n" 8 ; si 

 prova che $ è d' ordine 3. Ora, se esistesse una retta, non di y L , comune a tutti gli S 3 

 delle k t , un piano incidente tale retta sarebbe il piano u> richiesto, ma è da notare che 

 in tal caso (x) sarebbe conico, mentre per ipotesi esso è gobbo ; ne segue che non pos- 

 siamo servirci di una retta, come si è detto, comune a tutti gli spazi delle fc L . Sechiamo 

 allora $ con un S 4 ; si ottiene una rigata cubica normale -ed un piano passante per la 

 direttrice di questa sarebbe il richiesto piano oì. Ma considerando lo spazio individuato 

 da o) e da un punto generico A dell' S 3 di 7 , ragionando come al n° 10 si prova essere 

 [x = 3 — 1~2. Infine, poiché non è possibile sottoporre i punti fondamentali del sistema 

 a condizioni tali da avere le (ki) piane, concludiamo che il caso in questione è da esclu- 

 dere. 



b) Supponiamo (ir) conico. 



Facciamo anzitutto vedere chè è da escludere 1' ipotesi sopra accennata che esista 

 cioè una retta, non di Yi , comune a tutti gli S 3 delle k L . 



Infatti se gli S 3 delle k L hanno una retta comune, due di essi appartengono ad uno 

 stesso iperpiano, onde la ulteriore intersezione di questo con Yì dovrebbe essere una retta. 

 Evidentemente questa retta dovrebbe essere rappresentata da ^ 2 „ 34S , la quale anche se 

 i punti fondamentali si sottopongono alle condizioni necessarie per la sua esistenza, rap- 

 presenta un punto e non una retta. 



Concludiamo che una retta non di ~( L , comune a tutti gli S 3 delle k t non esiste. 



Si consideri ancora la Yi di cui sopra ove sia ~k\ 2Z . Questa retta è immagine di un 

 punto Oi di Yi 7 P ei ' CL1 ' passano tutte le cubiche di k t ; ma L non sarebbe (n° 21) sem- 

 plice per "fi , in a doppio. L infine sarebbe triplo per "fi ove si consideri una ^-2345 • 



Poiché in nessun modo è possibile che la Yi sia dotata di un punto base semplice 

 per {ki) e pure semplice per Yi , concludiamo che il caso in questione si esclude. 



ATTI ACC. SERIE V. VOL. XI. — Mem. Vili. 2 



