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Gelsomino, Grimaldi 



[Memoria IX.] 



Sia (ir) V inviluppo costituito dai piani di (k) , , e \i rispettivamente il genere e la 

 classe di (ir), s il numero delle coniche di (k) esistenti in un piano generico di (%), p ( il 

 genere di (k), e, infine, p L . il genere della sezione piana di y- 



È nota la relazione *) : 



1) 2n = 2\>.s-\-b-\-2b' 



ove 



2) S = 2 (p q + 1) — 4p t 



è il numero dei punti doppi dell' involuzione secata dalle coniche di (k) sopra una sezione 

 piana generica c di f ; e 8' è il numero di quei punti di C, su ognuno dei quali cadono 

 (su due rami) due punti coniugati della detta involuzione. 



2. Le tangenti alle coniche del fascio (k) generano una congruenza T ; questa è d'or- 

 dine 



3) v = 2 jji5. 



Infatti detto P un punto generico dello .spazio per questo passano \>. piani di (ir) e 

 quindi 2\i.s tangenti alle coniche di (k) poste in essi. 



Osserviamo che vi è un caso eccezionale in cui la 3) non è verificata. Esso si ha 

 quando (ir) è gobbo e della 3* classe e y coincide con la sviluppabile (di quarto ordine) 

 da esso generata. 



Infatti consideriamo la congruenza T generata dalla retta comune a due piani di un 

 inviluppo (ir) gobbo e di classe |J. ~ 3, La duale di Y è una congruenza I\ costituita dalle 

 corde di una cubica gobba /. 



Siccome ognuna di queste corde è generatrice comune a due degli oo 1 coni quadri - 

 che da un punto di / proiettano la / stessa, si ha che ogni retta di V appartiene a due 

 degli inviluppi di seconda classe che sono sezioni di (ir) con un piano di questo stesso 

 inviluppo. 



Evidentemente la congruenza T, è di classe 3. 



Dualmente si ha che T è del 3° ordine, e precisamente per un punto generico O 

 dello spazio passano tre piani di (ir) e le 2\s.s = 2. 3. 1 = 6 tangenti condotte da O alle 

 tre coniche giacenti nei detti piani si riducono alle tre rette secondo cui questi si inter- 

 secano, perchè ognuna delle dette rette è comune a due delle oo 1 coniche-inviluppo di T. 



Resta, ora, a dimostrare che la Y è unica, cioè che ogni congruenza, con oo 1 coniche- 

 inviluppo, tale che ciascun suo raggio appartenga a due di queste è la Y detta sopra. 



Infatti sia V i una congruenza generata da oo 1 coni quadrici, e tale che ogni sua retta 

 sia generatrice comune a due coni quadrici. 



Vediamo qual' è l' ordine della curva X, luogo dei vertici di questi. Siccome ogni retta 

 deve appartenere a due coni, essa sarà una corda di X, la quale è una cubica gobba per- 

 chè è proiettata da ogni suo punto secondo un cono quadrico. 



Si ritrova così la congruenza Y i della quale è duale la Y. 



3. La classe della congruenza Y è data dalla formula q = 6 — a, ove £ è il numero delle 



2 ) G. MARLETTA — Sulle supef-Jìcie algebriclie con infinite coniclie, e, in particolare , su quelle ci' or- 

 dine 5 [Atti dell'Accademia Gioenia, serie 5 a , voi. Vili (1915)]. n° 2. 



