Delle congruenze di relle generate da infinite coniche-inviluppo 



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rette semplici per Y, tali che ciascuna di esse contata due volte, dia una conica di (k). E 

 invero il numero delle rette di T poste in un piano generico cu è dato dalle coniche di (k) 

 tangenti questo piano onde è 8 il numero di tali rette. Però è da notare che le rette del 

 piano di ognuna delle £ coniche degeneri sono tangenti di dette coniche, ma non appar- 

 tengono a r, se continuamo a indicare con T la congruenza che rimane tolti gli £ piani 

 rigati delle dette £ coniche degeneri. 



Da quanto s' è detto segue che le rette di F che appartengono ad co, sono 8 — £. 



Per il caso di eccezione, citato nel n° 2, anche la classe di F non è data da q = ò — e, 



ma da q = — (8 — e), ed essendo £ = si ha q — — — 8. 

 Riassumendo : 



Escluso il caso che y sia la rigata sviluppabile di quarto ordine , /' ordine v 

 della congruenza è dato da v = 2\>.s, e la classe è data da q = o — s. 

 Dalla 1) e dalla 3 ) : 



4 s s 2s 



n— 1 



n 



si deduce 



5) o > 

 per modo che, escluso il solito caso, si ha 



6) q > 



4. Si noti che le rette di T sono in corrispondenza algebrica biunivoca coi punti di f- 

 Infatti preso un punto A della superfìcie y , pei - questo passa una conica del fascio 



(k) che ammette ivi una tangente, quindi ad A si può far corrispondere una retta di I\ 

 Viceversa data una retta / di F, essa è tangente ad una certa conica di (k) e in un punto 

 che appartiene a y. 



Segue da ciò che y è o no l'azionale secondo che è o no pi = 0. 



Questo ragionamento non può essere applicato al caso eccezionale di cui nei n 1 pre- 

 cedenti, ma anche in questo caso T e y sono entrambe razionali. La prima perchè le 

 sue rette possono mettersi in corrispondenza biunivoca coi piani di una stella ; la seconda 

 perchè è la sviluppabile di quarto ordine. 



5. Cerchiamo 1' ordine della superfìcie focale della congruenza F. A tal fine 

 consideriamo le rette di questa che tagliano una retta generica t dello spazio. Dette rette 

 costituiscono (coni' è noto) una rigata o, d ! ordine v — [— 3, di cui la / è direttrice v-pla. 



Gli oo 1 gruppi, ciascuno di v rette passanti per uno stesso punto di t, costituiscono 

 una g 1 . 



Si sa che un punto generico P di t è un fuoco, quando delle v rette di F passanti 

 per esso due coincidono ; ne segue che per trovare ni basta calcolare il numero delle rette 

 doppie della g l . Si ha quindi 



7) in == 2 (2\is -f- p — /; 



3 ) G. MARLETTA — Delle superficie con infinite coniche [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 

 tomo XL (1915)], n" 8. 



