Delle congruenze di rette generale da infinite coniche-inviluppo 



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Passiamo, ora, a considerare la seconda ipotesi, cioè che le due rette di F , dette in 

 principio di questo numero, siano tangenti a due differenti coniche di (k). 



Dobbiamo esaminare due casi seconde; che le due coniche in discorso appartengono 

 ad uno ovvero a due diversi piani di 



Per lo studio del primo caso occorre la considerazione della 1] costituita degli oa l 

 gruppi, ciascuno di s coniche, esistenti in uno stesso piano di (x). Il genere di detta in- 

 voluzione è ^> TC e il numero dei suoi elementi doppi è quindi dato dalla formula 



l 1 = 2{p l - l) — 2s(p* — 1). 



Ogni piano contenente un elemento doppio della l\ appartiene alla superfìcie focale, 

 anzi è da contarsi 2 volte, perchè per ogni punto di esso passano quattro rette della con- 

 gruenza formanti due coppie ognuna costituita da due rette infinitamente vicine. Dunque 

 esistono 



2.[2{p t -l) — 2s{px — I)] 



piani 5 ) appartenenti alla superficie focale. 

 Infine esaminiamo il secondo caso. 



La sviluppabile p generata dalle rette di contatto dell' inviluppo (x), è evidentemente 

 di ordine 



v = i? (,*+>:-/). 



Ogni punto della rigata p è un fuoco, anzi va contato 2s volte, perchè appartiene a 

 due piani infinitamente vicini di (%) e perciò per esso passano 4s rette di T divise in 2s 

 coppie, ognuna costituita da due rette infinitamente vicine. Concludiamo che p, contata 2s 

 volte, appartiene alla superficie focale, onde 1' ultima parte di cui si compone detta super- 

 fìcie è d' ordine 



2s[2( V .-\-Pt-1)). 



Come verifica si può osservare che si ha identicamente 



4(n — + pi — 1) — 2s = n -f- (3n — 4\is — 4ì>' — 2z) + 

 + 2[2(p i -I)-2s(pK-I)] + 2s\2( V .+p*-l)].. 



7. Osserviamo che quando l'inviluppo (te) è conico il suo punto base V è un punto 

 singolare per Y. Il cono relativo a detto punto è d' ordine 8 — e in tutti i tre casi cui 

 può dar luogo la posizione del punto V. 



Conduciamo infatti per V un piano generico t, ad esso appartengono 5 — s rette della 

 congruenza tutte passanti per V; e, invero, se una di esse, / per es., non passasse per 

 V, il piano della conica a cui essa è tangente dovendo contenere t e V coinciderebbe con 

 t contro la supposta genericità di x. 



Si può concludere dunque che il cono relativo a V è d'ordine ò — s, cioè Ve un punto 

 singolare di grado 8 — s. 



Quando (%) è un fascio, ogni punto della retta r asse di (x) è un punto singolare di 

 grado 8 — £ per la congruenza. Si conclude che la retta è singolare di grado § — £ ; la 



5 ) Questi formano dunque 2 (p, — /) — 2s(p- — ') coppie di piani coincidenti. 



