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Gelsomino, Grimaldi 



[Memoria IX.] 



multiplicità di r per il cono relativo a ciascuno dei suoi punti è 8 — 2s — £ nel caso 

 che le coniche di (k) non siano tangenti ad r. 



Notiamo, infine, che i punti delle coniche (degeneri) ognuna costituite da due rette 

 distinte sono punti singolari di grado due per la congruenza, perchè le rette di questa 

 passanti per ognuno di essi costituiscono, (a prescindere da un certo numero finito) un 

 fascio da contare due volte. 



§ 2. 



8. Osserviamo che per e — q è necessariamente pari. Ciò posto ci proponiamo di 

 classificare le congruenze razionali nell' ipotesi q = 1 , q = 2 con £ > 0, e per £ = 

 quelle di classe q = 4, giacché, come a momenti abbiamo osservato, 1' ipotesi q = 3. 

 per £ = 0, è da escludere 6 ). 



9. Sia q = /. 



Escluso il solito caso di eccezione di cui nei numeri 2 e 3, la 6) dà ;/ = 2. 



Poi da q — / segue ò = / -j- e. Ma ò" è necessariamente pari, dunque £ > / e 5 > 2. 



Segue per la 1) 



[jl — s — 1, 0=0, o — 2, £ = 1. 



La superficie y è cono quadrico. Un fascio di piani avente per asse una tangente 

 generica / del cono, seca y in un fascio di coniche. 



Il piano individuato dalla / e dalla genatrice del cono passante per il punto di contatto 

 di / seca y lungo la detta generatrice che contata due volte è conica di (k). 



Le tangenti alle coniche di questo generano una congruenza di classe q == l e d' ordine 

 v = 2 7 ) 



Si osservi che il fascio (k) ha due punti base infinitamente vicini. 



10. Sia q =■ 2. Allora siamo certamente fuori del caso di eccezione e la 4) dà n <T 4. 

 Sia ;/ = 2. La 1) posto 8 == q --)- s _= 2 -(- 6 diventa 



4 = 2 [A 5 + £ + 2h' -f 2 



dunque 



jl = 5 = /, £ = o' =r 0. 



La superfìcie y è una quadrica. Un fascio di piani avente per asse una retta generica 

 dello spazio, seca f in un fascio di coniche, le cui tangenti costituiscono una congruenza 

 di classe q = 2 e d' ordine v = 2. 



Se la quadrica è un cono bisogna che l' asse del fascio di piani contenenti le coniche 

 non sia una tangente del cono. Il fascio (k) ha due punti base distinti. 



11. Sia n — 3. 

 La 1) dà 



6=2\J.s^ r B-i r 2ò'-^ r 2 



6 ) Non ci occupiamo dell'ipotesi z > o o con q— 3 ovvero g = 4 per ragioni di brevità ; infatti nel primo 

 di questi due casi si presentano ben 26 congruenze da esaminare. 



7 ) La duale di questa congruenza è quella generata dalle generatrici di un fascio di coni quadrici non 

 aventi lo stesso vertice. 



