Delle congruenze di rette generate da infinite coniche inviluppo 



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è ci' altronde, necessariamente, s = /, dunque 



I) [J- = 2, e = o' = ; oppin e 



II) |i = /, s = 2, o' — ; oppure 

 III) n = /, e = 0, 8' = /. 



Nel caso I) la superficie 7 è rigata, onde essa è proiezione della rigata cubica nor- 

 male Yi- Consideriamo un fascio di coniche (/e t ) di y 4 avente per immagine nel piano rappre- 

 sentativo un fascio di rette | X\ | , ove A è un punto generico. 



I piani delle coniche di generano un S -cono quadrico. Proiettando y t , da un 

 punto generico, in uno spazio ordinario otteniamo la superficie y richiesta. 



I piani delle coniche del fascio (k), proiezione di (k { ) inviluppano un cono quadrico 

 e il vertice V di questo è semplice per 7 e punto base per (k). 



Le tangenti alle coniche del fascio (le) generano una congruenza T d' ordine v — 4 

 e di classe q = 2. 



Nel caso II) la superfìcie y che è del terzo ordine non può essere rigata. D' altro 

 canto è noto (per un' esservazione del Klein) che se due delle 27 rette di una superfìcie 

 cubica non rigata sono infinitamente vicine e complanari, la superficie ha sulla retta con 

 la quale vengono a coincidere due punti doppi (generalmente distinti), quindi si vede che 

 per realizzare l' alternativa II) nel modo più generale bisogna prendere per 7 una superficie 

 con quattro punti doppi. Per questa superficie i lati del tetraedro avente per vertici i punti 

 doppi assorbono in tutto 24 delle sue rette. Ne restano altre tre situate in un piano, e 

 delle quali ognuna si appoggia a una coppia di lati opposti del tetraedro. 



Tagliando questa superficie col fascio di piani avente per asse una di queste ultime 

 rette resta realizzato il caso ih discorso. 



Le tangenti alle coniche del fascio (k) esistente in y, formano una congruenza V d'or- 

 dine v = 2 e classe q = 2. 



In questo caso (k) ha due punti base. 



Resta a discudere 1' alternativa III). Qui la superficie y è una rigata cubica. Conside- 

 riamo il fascio di piani avente per sostegno una generatrice generica della superfìcie, esso 

 seca questa ulteriormente in un fascio di coniche (k). 



La direttrice doppia di 7 è, contata due volte, conica di (k). 



Le tangenti alle coniche del fascio (k) costituiscono una congruenza d' ordine v = 2 

 e di classe 5 = 2. 



12. Sia 11 — 4. Allora la 1) dà 



6 = 2\ls -f 8 -f 20' 



ed è 5 < 2, quindi sono possibili le alternative 



I) 



|i = 3 







1 



8' — 



£ =0; 



11) 



V.^2 





5 = 



1 



S' = 



£ = 2\ 



III) 



V . = 2 







1 



S' = 



1 e = 0; 



IV) 



= / 







2 



¥ = 



z = 2; 



V) 



\>.= 1 





5 — 



2 





1 e = 0; 



VI) 



|i = S = 



/ 





V = 





s = 4; 



VII) 





/ 





%' = J 





e = 2; 



Vili) 



|x = s = 



/ 





8' = 2 





£ = 0. 



