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Gelsomino, Grimaldi 



[Memoria IX. 



Il caso I) può realizzarsi con (x) gobbo o conico. 



a) Se (it) è gobbo la superficie y è rigata. 



Consideriamo la superficie y, dell' S 5 rappresentata nel pianò dal sistema lineare 

 | Vl 2 2 | . 



Questa possiede un fascio di coniche rappresentato da | X? | , i cui piani costitui- 

 scono una varietà del 3° ordine. Proiettando y, da una retta generica / dell' S 5 , otteniamo 

 la superfìcie y richiesta. 



I piani delle coniche del fascio (k), proiezione di (k L ) costituiscono un inviluppo (it) 

 gobbo e di classe \). = 3. 



Che {%) sia gobbo si dimostra osservando che se fosse conico il suo punto-base V 

 Io sarebbe anche per {k) \ e il piano / V dovrebbe contenere o una curva incontrata di 

 tutte le coniche di (ki), ovvero un punto comune a tutte queste coniche. 



Nella prima ipotesi la retta / avrebbe un certo numero di punti comuni con la superficie 

 y, ma ciò è assurdo perchè la retta centro di proiezione è generica e quindi non incontra fi- 

 La seconda ipotesi si esclude osservando la rappresentazione piana. 



b) Se (x) è conico f è una superfìcie di Steiner. Consideriamo la superficie di Veronese 

 e su di essa un fascio di coniche (k^ avente per immagine, nel piano rappresentativo, 

 un fascio di rette j X\ |. 



La varietà dei piani delle coniche di [k L ) è del terzo ordine. Proiettando da una retta 

 generica si ottiene, com' è noto, la superficie di Steiner. 



I piani delle coniche del fascio (k), proiezione di (kì), costituiscono un inviluppo conico 

 di classe |J. = 3. 



Sia in a) che in b), la congruenza T è d' ordine v = 6 e di classe 5 = 2. 



Nel caso II), essendo = q -\- z = 4 e />, = (dato che è |X = 2 ed s = /), si 

 trae p c = 1 ; dunque y è proiezione di una superficie y l di Segre, dell' S 4 , sulla quale 

 uno dei dieci fasci di coniche, che essa contiene, possiede due coniche ridotte ciascuna 

 a una retta contata due volte. 



Cosicché per realizzare "fi (e poi y) basta considerare nell'S 4 una schiera di piani diun 

 So-cono quadrico e tagliarla con una iperquadrica che tocchi due dei suoi piani lungo rette. 



II caso III) può realizzarsi in due modi a) Consideriamo la superficie y 4 di Veronese 

 e un fascio (k ± ) di coniche su di essa. I piani delle coniche di costituiscono una 

 V\ ; ne segue che proiettando fi da una generica retta t incidente uno (solo) dei piani 

 della detta varietà si ottiene la richiesta superficie y. 



La traccia, nello spazio di 7, dell' S 3 individuato da / e dall' accennato piano è una 

 retta doppia per 7 e, contata due volte, conica di (k) ; si noti che questo fascio ha un 

 punto-base. 



La congruenza generata dalle tangenti alle coniche del fascio (k) è d'ordine v = 4 

 e di classe q = 2. 



b) Si consideri la rigata razionale normale T t di S5 con oo 1 coniche direttrici, proiet- 

 tandola da una retta appoggiata in un punto alla V% dei piani di quelle coniche resta 

 determinata la superfìcie 7. 



Il caso IV) si verifica con una superficie y del 4° ordine a conica doppia c e dotata 

 di due punti doppi staccati infinitamente vicini. 



Secando y con il fascio (tc) di piani avente per asse la congiungente i detti punti 

 doppi, ognuno di questi piani secherà 7 in due coniche. 



