Delle congruenze di rette generate da infinite coniche inviluppo 



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Supponendo, coni' è sempre possibile 8 ), che le congiungenti i detti punti doppi con 

 i punti di contatto dei due piani di {t) tangenti c coincidano ciascuna con una delle due 

 coniche sezioni di questi piani con y, '"està realizzata l' alternativa in esame. 



Le due congiungenti di cui sopra, sono rette semplici per 7 e, contate due volte, 

 coniche di (k). 



La congruenza T è d' ordine v = 4 e di classe q = 2. 



Per realizzare il caso V) basta tagliare una superficie y di Steiner col fascio di piani 

 determinato da due dei suoi 4 piani tangenti doppi. A tal line si consideri la superfìcie 

 di Veronese y, ; la V\ costituita dai piani di un fascio (ki) di coniche di y 1( è conica ed 

 ha un piano direttore (il piano tangente alla superfìcie di Veronese nel vertice della V%) ; 

 quindi basta proiettare 7t da una retta appoggiata al piano direttore. 



Allora la retta si appoggia anche ad un piano generatore (e quindi 8'=/) e da essa 

 la Vi risulta proiettata in un fascio di piani doppio (e quindi — s = 2). Il fascio (k) 

 ha due punti-base. 



Le tangenti alle coniche del fascio (k) esistente in y generano una congruenza d'ordine 

 v = 4 e classe q — 2. 



Il caso VI), che corrisponde a |A = 5 = /, e — 7, ò' = 0, si realizza con una 

 superficie 7 del quarto ordine con retta doppia e il massimo numero, cioè 8, di punti doppi ; 

 questi sono divisi in quattro coppie, ognuna complanare con la retta doppia. 



La congiungente i due punti di una qualunque coppia è retta semplice per 7, e, contata 

 due volte è conica del fascio (k). 



Le tangenti alle coniche di detto fascio costituiscono .una congruenza T d'ordine 

 v = 2 e classe q = 2. 



L'alternativa VII) resta realizzata proiettandola superficie 7, di cui nel caso II), da 

 un punto appartenente ad un piano dell' S -cono. La congruenza V è d' ordine v = 2 e 

 classe q = 2. 



Resta a discutere il caso Vili). Qui essendo p c = 0, a) 7 è la rigata del quarto ordine 

 di 5* specie di Cremona, di 2 a specie di Cayley. 



Le sue direttrici doppie d t e d 2 sono sghembe; considerando un fascio di piani 

 avente per asse la genatrice doppia g della superfìcie, otteniamo un fascio (k) di coniche. 



Le sezioni di 7 con i piani d t g e d 2 g sono le rette d i e d 2 che, contate due volte, 

 sono coniche di (k). 



b) 7 è la superficie di Steiner. I piani passanti per una delle tre rette doppie di essa 

 la secano in un fascio di coniche passanti per il punto triplo di y. Le altre due rette 

 doppie della superfìcie, contate due volte, sono coniche di (k). 



Sia in a) che in b) la congruenza Y è d' ordine v = 2 e di classe q = 2. 



§ 3. 



13. Sia q = 4 ed £ = 0. Siccome (n° 8) vogliamo assegnare le congruenze razionali 

 ammetteremo una volta per tutte p t = 0. 

 La 6) dà 11 < 8. 



8 ) Infatti basta considerare la superficie intersezione di due iperquadriche, dell'5 4 . in posizione conveniente. 

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