14 



Gelsomino, Grimaldi 



[Memoria IX.]! 



ed è s <T 4, quindi sono possibili i casi 31 ) 





Il — ■ fi 



5 1 



o — 



I 1 \ 



11) 



,. r: 



|X o 



S — 1 



1 



ili; 



Il — / 



|i — 4 



S — / 



— é 



IV) 



H — o 



S = 2 



0=0 



V) 



|x = 3 



S = J 



b' = 3 



VI) 



,.. = 5 



S = 3 



ò' — 



VII) 



H = 2 



s = 2 



V = 2 



Vili) 



!x = 5 



S = I 



Ò' = 4 



IX) 



!i.= / 



s==4 



f>' — 2 



X) 



|l = / 



s = 3 



b' = 3 



XI) 



n = / 



s = 2 



b' = 4 



XII) 





s = l 



Ò' = 5 



Il caso I) può realizzarsi in due modi con (ir) gobbo o conico. 



a) Supponiamo, in primo luogo, (it) gobbo. 



La superfìcie y è proiezione della superfìcie yi > dell' Ss , rappresentata o da | k\ | o 

 da |X 4 i2 2 2 |; la proiezione, però, deve farsi da un S 4 generico dell' S g ambiente. 

 La congruenza L è d' ordine v = 12 e classe q = 4. 



b) Sia (%) conico. 



In questo caso non esiste la superfìcie f, rappresentata da | X? | . Infatti dovrebbe esi- 

 stere un S 5 passante per I' S, centro di proiezione che dovrebbe incontrare tutti i piani 

 delle coniche del fascio (ki) e quindi I' S 4 incontrerebbe alcuni piani e risulterebbe 8' >> 

 contro 1' ipotesi. 



Se invece ~{ l si suppone rappresentato dal sistema |X 4 i 2 2 2 | con i punti 1 e 2 infinita- 

 mente vicini tra loro, essa acquista un punto doppio base per {k). Proiettando da un S 4 

 generico si ottiene la superficie f richiesta. Anche ora T è d'ordine v = 12 e classe q= 4. 



L' alternativa li) si realizza con (%) gobbo o con (~) conico. 



a) Sia (ic) gobbo. La superficie y è proiezione della superficie fi , dell'S 8 , rappresen- 

 tata da | X? | o da j XV 2 2 | . 



La proiezione deve farsi da un S, che incontri il piano di una conica del fascio (k t ) 

 esistente sulla superficie yi e rappresentata da | XJ | . 



b) Sia (x) conico. Il suo vertice sarà triplo per f e punto base per (k). 



Se la superfìcie f! è rappresentata da | X\ | essa non può avere un punto doppio, ba- 

 se per e quindi la y dotata di punto triplo e base per (k) non può esistere come proie- 

 zione di tale superfìcie. 



Se invece yi si suppone rappresentata dal sistema lineare |XV2 2 | con i punti 1 e 

 2 infinitamente vicini tra loro, essa avrà un punto doppio base per (k). Proiettando come 

 s' è detto nel caso di {%) gobbo si ottiene la richiesta superficie y che ha un punto V 

 triplo e base per {k). 



Sia in a) che in b) le tangenti alle coniche di (k) generano una congruenza Y d'or- 

 dine v = 10 e classe q — 4. 



31 ) Dette superfìcie razionali d' ordine 8 con un fascio di coniche i cui piani non^ formano fascio, si oc- 

 cupò il Dott. MICHELANGELO BARTOLO nella sua tesi di laurea ancora inedita. 



