Delle congruenze di relte generate da infinite coniche inviluppo 



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L* alternativa III) si realizza anch' essa in due modi con (ir) gobbo o conico. 



a) Supponiamo che (ir) sia gobbo. 



La superficie f è proiezione della superfìcie y i , dell' S 8 rappresentata dal sistema 

 | X? | o dal sistema | XV- 2 2 1 . 



Proiettando, in ambidue i casi, la superficie y, da un S 4 incidente i piani di due co- 

 niche di si ottiene la superfìcie y richiesta. 



b) Supponiamo che (ir) sia conico, il suo punto base o non apparterrà a y ovvero 

 sarà quadruplo per questa e punto-base per (k). 



Considerando la superficie fi rappresentata dal sistema | X', | essa non può avere un 

 punto doppio base per (#,), e quindi la superficie 7 dotata di punto quadruplo base per (k) 

 non può esistere come proiezione di ? 4 rappresentata da | XJ | . 



Se invece si considera la superficie fi rappresentata da j ~L\- 2- | con i punti lei* 

 infinitamente vicini tra loro, essa avrà un punto doppio base per (ki). Proiettandola come 

 si disse ì^el caso a) si ottiene la superficie y richiesta, cioè tale che (ir) sia conico, e il 

 vertice V di questo è quadruplo per y e base per (k). 



Supponiamo yi rappresentata da | X, | . 



Consideriamo tre piani ir 1 , ir 3 , ir 3 , essi si appoggiano alla ietta /, , che ha per im- 

 magine il punto /, e però stanno in un S- che seca ulteriormente la varietà V\ , in una 

 rigata cubica normale. 



Basterà, ora, proiettare y t , da un S 4 che incontri in due punti una conica di tale ri- 

 gata per avere la richiesta superficie Il punto base V di (ir) è quello in cui Io spazio 

 ordinario su cui si proietta, è incontrato dall' S 5 determinato dall' S, centro di proiezione 

 e dal piano della detta conica. Il punto V non appartiene a y. 



Supponiamo che yi sia rappresentata dal sistema | X.V-2 2 I con i punti 1 e 2 in po- 

 sizione generica tra loro. 



Si consideri un S 7 generico passante per due, ir' t e ir' 2 dei piani delle coniche rap- 

 presentate dal fascio | X| ! ; esso secherà ulteriormente la V 3 dei detti piani in una rigata 

 del quarto ordine immersa in un S 5 , perchè se fosse immersa in un S 4 e in un S 3 essa 

 avrebbe un numero finito infinito di punti doppi per ciascuno dei quali passerebbero 

 due piani di (irj, il che è assurdo giacché, come si vede dalla rappresentazione, due qua- 

 lunque di questi piani non appartengono ad uno stesso S 4 . 



Un S 4 di tale S 5 passante per due rette della rigata la seca ulteriormente in una co- 

 nica per ogni punto della quale passa una retta della rigata e quindi uno (ir) dei sopra- 

 detti piani. 



Proiettando *( t da un S 4 che incontri in due punti tale conica si ottiene la superficie y 

 richiesta, cioè tale che (ir) sia conico. Il punto-base di questo non appartiene a 



Nei casi considerati la congruenza T è d' ordine v = 8 e classe q = 4. 



In quanto all' alternativa IV) si trova che essa deve essere esclusa. Infatti in questa 

 ipotesi la superficie -f non esiste sia come proiezione della superficie y t rappresentata da 

 | Xf | , sia come proiezione di quella rappresentata da |X 4 r-' 2 J |. 



Nel primo caso si osservi che essendo s = 2, le coppie di coniche di (k) esistenti 

 nei piani di (ir) genererebbero una gl . Ora, dalla rappresentazione si vede che la retta 

 di if rappresentata dal punto /, dovrebbe appartenere ad ogni piano di (ir), ciò che è as- 

 surdo essendo \>. = 3. 



Nel secondo caso V ulteriore intersezione di y con un piano qualunque di (ir), sareb- 



