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Gelsomino, Grimaldi 



[Memoria IX.] 



be costituita da due coniche del fascio (fi) avente per immagine | ~k\ \ . Ne verrebbe di 

 conseguenza, appunto perchè (k 1 ) è un fascio, di avere |jl = 2 ciò eh' è assurdo. 

 L' alternativa V) si realizza in due modi con (%) gobbo e con (it) conico. 



a) Supponiamo dapprima che (n) sia gobbo. La superficie y è proiezione f t , dell'S 8r 

 rappresentata o da | XJ | o da | XV 2 2 | . 



In ambedue le ipotesi la varietà dei piani delle coniche del fascio (&J esistente sulla 

 superficie yi e rappresentato da | X] | , è del sesto ordine. 



Proiettando fi da un S 4 incidente tre piani della V 3 si ottiene la richiesta superficie y. 



b) Sia (it) conico. 



Se consideriamo la superficie f £ rappresentata da | X? | essa non può avere un punto 

 doppio e quindi 7 non può avere un punto quintuplo. 



Andiamo a vedere, ora, se 7 può avere un punto doppio non base per (k). 



Un Si passante pei' due piani it £ , it/ seca la varietà dei piani di (iti) in una rigata 

 del quarto ordine dell' S5 . Un S, . di questa S 5 , passante per una retta della rigata la seca 

 ancora in una cubica c per ogni punto della quale passa una ietta della rigata e quindi 

 un piano di (iti). Un S 4 avente un piano comune con l' S 3 contenente la cubica c seca 

 questa in tre punti e perciò incontra tre piani di (iti). Proiettando da tale S 4 la Yi > tutti 

 i piani (ir) contenenti coniche di y passeranno per il punto V in cui lo spazio ordinario è 

 incontrato dall' S 5 determinato dall' S 4 centro di proiezione e dallo S 3 che contiene la cu- 

 bica. Tale punto V non è base per (k) ; che esso è doppio per y sì deduce da una nota 

 formula 32 ). 



Quanto ora s' è detto può ripetersi se si considera la superficie y t rappresentata da 

 | XV 2- | , e però possiamo affermare, anche nel presente caso, l'esistenza della superfì- 

 cie f ; il vertice di (it) è doppio per y e non punto base per {k). 



Se si considera la superfìcie y ( , rappresentata da | XV 2 2 I con 1 punti 1 e 2 infini- 

 tamente vicini tra loro, essa ha un punto doppio base per (/c L ). 



Proiettandola da un S 4 che incontri tre piani di (iti) si ha la superficie y con un 

 punto quintuplo, punto che è base per il fascio (k). 



Sia in a) che in b) la congruenza V è d' ordine v — 6 e classe q = 4. 



L'alternativa VI) è da escludere. Infatti la superficie y, , di cui è proiezione y, do- 

 vrebbe essere rappresentata o da | X? | (la ] XV 2 2 | . 



Nel primo caso per potere un piano it contenere tre coniche di (k t ) bisognerebbe che 

 1' iperpiano, determinato da it e dall'S 4 centro di proiezione, contenesse tre coniche di (ki)- 

 Esso allora conterrebbe anche la retta i L di y, che ha per immagine il punto /. 



Allora il suddetto piano it conterrebbe la retta t di 7 , proiezione della /1 di f L , e 

 quindi (it) sarebbe un fascio contro L' ipotesi. 



Si conclude che in tal caso 7 come proiezione della superficie y t non esiste. 



Anche l'ipotesi che 7, sia rappresentata da jXVi 2 ! è da escludere perchè verrebbe 

 s = 4, come si vede dalla rappresentazione piana. 



Esaminiamo l'alternativa VII), Qui il vertice V del cono inviluppato da (x) o non ap- 

 partiene a f , ovvero è quadruplo per f e punto-base per (k). 



La superficie 7 è proiezione della superficie y t rappresentata dal sistema | X? | da 



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'■) I. c. in -). n° 3. 



