Delle congruenze di rette generate da infinite coniche-inviluppo 



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a) La prima ipotesi è da escludere perchè tutti i piani di (~) conterrebbero la retta 

 rappresentata dal punto fondamentale /, onde formerebbero un fascio contro l'ipotesi di \>. = 2. 



b) Nell'ipotesi che y t s ' a rappresentata da |X 4 i 2 2 2 | assegnamo un'omografia fra le 

 coppie di una g\ del fascio | X] | e le coppie di una g'i del fascio | XJ | . Due coppie omo- 

 loghe costituiscono l'immagine di una sezione iperpiana ; si ottengono così, oc 1 iperpiani 

 formanti un sistema irriducibile d' ordine 2 e perciò appartenenti ad un S 5 . 



Proiettando y t da un S 4 generico del detto S 3 , passante per due punti, traccia in 

 questo, della varietà dei piani delle coniche di (A-'i), si ottiene la richiesta superficie y. 

 Il vertice V del cono inviluppato da (x) non appartiene a y. 



c) Considerando la superficie y { rappresentata da | XJ | si vede che il fascio di coni- 

 che (ki) , rappresentata da | X] | , non ammette alcun punto-base e però la superfìcie 7 sua 

 proiezione, non può avere un punto quadruplo base pei- {k). 



d) Se yi e rappresentata dal sistema ] X'i-: 2 | , per ottenere la richiesta superfìcie 7, 

 basta suppore, nel caso b) che i punti 1 e 2 siano infinitamente vicini tra loro. 



Nei casi b), c) ) d) la congruenza T è d' ordine v ~ 8 e classe q = 4. 



Quanto all' alternativa Vili) si osservi che il vertice V del cono quadruplo inviluppato 

 da (t) è quadruplo per y e non punto-base per (le), ovvero è sestuplo e punto-base. 



La superfìcie y è proiezione della superfìcie y, , dell' Ss , rappresentata da | X] \ o da 

 |XS 2 2 2 |, ma bisogna che 1' S 4 centro di proiezione incontri quattro piani delle coniche 

 del fascio (ki), esistente su y t . e rappresentata da | XJ | . 



Il vertice V di cui sopra è quadruplo per y e punto-base per (k). 



Se 7 X è rappresentata dal sistema |X 4 i 2 2 2 | coi punti 1 e 2 infinitamente vicini tra 

 loro essa avrà un punto doppio Vi base per (/<?,) ; proiettandola, come ora s' è detto, si 

 ottiene la richiesta superficie 7 che ha un punto V sestuplo e punto-base per (k). 



La congruenza T è d' ordine v = 4 e classe q = 4. 



Discutiamo 1' alternativa IX). Qui è da escludere la rappresentazione nel piano me- 

 diante il sistema delle cubiche passanti per un punto fìsso. 



Si consideri la superfìcie 7,, rappresentata nel piano dal sistema | X1 2 2 2 | coi punti / e 

 2 infinitamente vicini tra loro. Si fissi nel fascio | X} | una g\\ un gruppo di questa costi- 

 tuisce 1' immagine di una sezione iperpiana di y r Si ottengono, così, co 1 iperpiani for- 

 manti fascio e perciò passanti per un S u . Un iperpiano generico seca la varietà dei piani 

 di (£() in una superficie del sesto ordine che si spezza nei piani di quattro coniche di (k L ) 

 e in una rigata quadrica. 



Proiettando y, da un Si generico dell' S 6 base del detto fascio d' iperpiani, si ottiene 

 la richiesta superficie 7; infatti questo S 4 incontra in due punti la detta rigata, le coniche 

 complanari con questi punti hanno per proiezione rette doppie di y e, contate due volte 

 coniche del fascio (k). 



La congruenza T è d' ordine v — 8 e classe q — 4. 



Neil' alternativa X) le superficie y e proiezione della superficie 7, , dell' S s , rappresen- 

 tata nel piano da | Xf | da | X" 1 1 2 2- | . 



Supponiamo che fi sia rappresentata da | X? | ; fissiamo una g! : nel fascio (k t ). 



Un gruppo della g* 3 insieme con la retta rappresentata dal punto fondamentale /, con- 

 tata due volte, costituisce una sezione iperpiana di y, ; si ottengono così co 1 ; iperpiani 

 che formano un fascio e perciò appartengono ad un S 6 . 



Un iperpiano generico del fascio seca la varietà dei piani delle coniche di (lc { ) in una 



ATTI ACC. SERIE V. VOL. XI — Mem. IX. 2 



