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Gelsomiiia Grimaldi 



[Memoria IX.] 



superficie del sesto ordine spezzata nei piani di tre coniche di (/<;,] e in una rigata cubica. 



Proiettando y i da un S 4 generico dell' S 6 base del sopradetto fascio si ottiene la ri- 

 chiesta superficie y. Infatti quest' S 4 incontra in tre punti la detta rigata; le coniche com- 

 planari con questi tre punti hanno per proiezione rette doppie per la superficie e, contate 

 due volte, coniche del fascio (k). 



Sia Yi rappresentata dal sistema | XV 2 2 | con i punti / e 2 infinitamente vicini tra loro. 



Nel fascio | X| | si fissi una g\. Un gruppo di questa insieme con una X} generica, 

 fissata ad arbitrio, costituiscono 1' immagine di una sezione iperpiana di 7, . Si ottengono 

 così oo 1 iperpiani formanti fascio e quindi appartenenti ad un S 6 . Un iperpiano generico 

 del detto fascio seca la varietà dei piani di (A',) in una superficie del sesto ordine di cui 

 fanno parte i tre piani delle coniche del gruppo della gl considerata. 



Proiettando 7 t da un S 4 generico dell' S 6 base del fascio di iperpiani si ottiene la su- 

 perfìcie 7 come si richiedeva. 



La congruenza T è d' ordine v = 6 e classe q — 4. 



Discutiamo l'alternativa XI). Qui 7 è proiezione della superficie y iì dell' S 8 , rappre- 

 sentata nel piano da | 'k\ J da j XV- 2 2 | . 



Nel primo caso il fascio | X| [ rappresenta un fascio (k L ) di coniche incidenti la retta 

 / ( e la cubica gobba c t di y t aventi per immagini rispettivamente il punto fondamentale / 

 e una retta generica del piano. 



Ne segue che ogni conica di {kì) e 1' S 5 di ti e c\ giacciono in un S 6 . 



Proiettando Yi da un <S ( Q avente in comune con l' S 5 sopradetto uno spazio ordi- 

 nario, si ottiene la superficie 7 richiesta. 



Siccome le coniche di (k t ) punteggiano omograficamente la t i e la r, , così Q sarà 

 incidente ai piani di quattro coniche che avranno per proiezione rette doppie di 7 e con- 

 tate due volte, coniche di (k). 



Nel secondo caso fissiamo una g 1 2 nel fascio | Xj | immagine del fascio di coniche (k t ) 

 esistente sulla superficie, ed inoltre due rette generiche del fascio | X 'i |, rette cui corrispon- 

 dono due coniche k 2 , k t del fascio (k t ). Una coppia della g\ insieme con le due coni- 

 che k % , À' s costituiscono l'immagine di una sezione iperpiana di fi, 



Si ottengono così oo 1 iperpiani che formano un fascio e che secano 71 nelle due co- 

 niche fisse del fascio (k\) e in una coppia del fascio (A,). Proiettando 7, da un S 4 gene- 

 rico S dell' S B base del detto fascio di iperpiani, si ottiene la richiesta superficie y. 



Siccome le coniche di (ki) punteggiano omograficamente le coniche k 2 , k 2 , così & 

 sarà incidente ai piani di quattro coniche di (A',) che avranno per proiezione rette doppie 

 di 7 e, contate due volte coniche di (k). 



La congruenza T è di ordine v = 4 e classe q = 4. 



Esaminiamo infine l'alternativa XII). La superficie y 4 è, al solito, proiezione della su- 

 perficie 7 t , dell' S 8 , rappresentata da | X? | o da [ X 4 i*2 2 I • 



Quando 7, è rappresentata da | X3 | ammette un fascio di coniche (/?,), rappresentato 

 da | XJ | le quali segnano una gl su ciascuna delle oo 5 sestiche (t) razionali normali rap- 

 presentate da X 2 . 



Osserviamo che è una retta la traccia, neh' S 6 di una t, di uno ic dei piani delle co- 

 niche di {k L ); al variare di ir la retta genera una rigata p del quinto ordine. 



Assumendo come centro di proiezione uno generico Q degli S 4 dell' S 6 di una delle 

 sopradette sestiche si ottiene la superficie 7 come si richiedeva. 



