2 



Michele Cipolla 



[Memoria XI. 



si avrà un triangolo di Fermai propriamente detto, di ipotenusa M e cateti P e Q, pur- 

 ché il numero Q risulti positivo: per questo è necessario e sufficiente che si abbia Y l > ZJ 

 o anche Yy> X. 



Basterà, come bene s' intende, limitare la ricerca alla determinazione dei triangoli pei 

 quali M, P, Q siano numeri primi tra loro (triangoli primitivi) , e ciò equivale a ri- 

 cercare soltanto le soluzioni della (1) costituite da numeri primi tra loro (soluzioni pri- 

 mitive). 



2. Dalla soluzione 



X — 1 , F = 1 , Z = 1 , 



alla quale corrisponde un triangolo degenere : 



M = 1 , P = 1 , = 0, 



si possono dedurre altre soluzioni con un procedimento razionale, indicato dallo stesso 

 Fermat ( b ), che permette, in generale, di ricavare da una soluzione nota un' altra, gene- 

 ralmente diversa, di un' equazione della forma 



(2) aX* -4- bX 3 Y -f cX-Y : -f dXY 3 -}-eY i = Z\ 

 Si ottiene così la soluzione : 



. X = 13 , Y—l, Z — 239 , 



per la quale si ha 



17=169, P= 120 , jQ = — 1 19 ; 



e poi ia soluzione 



(3) A' = 2 165 017 , Y = 2 372 159 , Z = 3 503 833 734 241 , 



cui corrisponde un triangolo di Fermai propriamente detto, ma che non soddisfa alla terza 

 condizione di Torricelli: 



M = 4 687 298 610 289, P — l 061 652 293 520 , Q = 4 565 486 027 761 . 



Non risulta però, in generale, che col procedimento indicato si ottengano tutte le so- 

 luzioni, e nemmeno riesce evidente che ne esistano infinite. Forse per tal motivo Fermat 

 si studiò di perfezionare il suo metodo, cercando il mezzo di dedurre da una soluzione 

 assegnata un' altra formata da numeri di minor valore assoluto. Fu così che egli riuscì a 

 dimostrare l' impossibilità di risolvere in numeri interi non nulli 1' equazione ( 6 ) 



Z 4 - Y* = Z 2 . 



( 5 ) Ctr. 1. c. (') : Oeuvres, t. 3, p. 378. Procedimenti analoghi trovatisi esposti da A. M. LHGENDRE- 

 nella sua Thèorii des Notnbres (3* ed.. Paris, a. 1830, p. 123). 



( 6 ) Cfr. 1. c- (') : Oeuvres. t. 1,. p. 340; t. 3. p. 372. 



