/ triangoli di Fermai e un problema di Torricelli 



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Seguendo la stessa via Freniche pervenne ad analoga conclusione per l' equazione ( 7 ) 



X> + Y' = Z 2 , 



ed ispirandosi allo stesso principio Euler riuscì a dimostrare (*) 1' inesistenza di soluzioni, 

 formate da numeri interi diversi da zero, di ciascuna delle equazioni : 



X* ± 4F 4 = Z\ 2X* ± 2 r 4 = ZJ , Z 4 -f 2 Y* = ZJ . 



Mentre però per 1' equazione 



(4) X* — 2Y* = Z a , 



in base al detto principio, Euler giunse al risultato (') che una soluzione qualunque del- 

 la (4) o si ricava da un'altra formata da numeri più piccoli o da una soluzione della ( l), 

 per quest' equazione si limitò a mostrare, con un esempio, che il metodo di Fermat, ap- 

 plicato ad essa, non ne dà tutte le soluzioni ( 10 ). In un lavoro postumo si riscontrano 

 delle forinole che permettono di ottenere le soluzioni dell' equazione (1) da quelle dell' e- 

 quazione 



(5) X* + 8Y 4 = Z 2 , 



ma non è dato alcun procedimento per risolvere quest' ultima. 



La lacuna fu colmata da Lagrange il quale, lasciandosi pure guidare dal principio 

 dimostrativo di Fermat, raggiunse lo scopo avvicendando la risoluzione dell' equazione (1) 

 con la risoluzione della (4) e della (5). Egli così dimostrò che, conforme all'asserzione di 

 Fermat, la soluzione (3) dell'equazione (1) è proprio quella che fornisce il triangolo di 

 Fermat coi lati più piccoli. 



Il procedimento di Lagrange è però assai laborioso e presenta l' inconveniente di dare 

 più volte una stessa soluzione. La complicazione dei calcoli e il rapido aumentare dei 

 numeri che costituiscono le soluzioni, non lasciano intravedere la legge con la quale queste 

 si succedono. 



Notevoli formole di ricorrenza per la determinazione di tutte le soluzioni dell'equa- 

 zione (l), furono date, quasi un secolo dopo, da V. A. Lebesgue ( 13 ). Egli vi pervenne 

 con un procedimento non dissimile da quello di Fermat, partendo però dalle formole dei 

 numeri pitagorici. 



(") B. FRENICLE DE BESSY. Tratte des triangles reclaugles en nombres, Paris, a. 1676; Mém. Ac. so. 

 Paris, a. 1660-99. t. 5. ed. Paris, a. 1729- P- 178. 



( 8 ) L. EULER, Comm. Acad. Petrop,, t. 10 (a. 1738). ed. a. 1747. P- 125-134: Vollst'àndige Anleitung 

 zio- Algebra, t. 2, Pietroburgo a. 1770. p. 418 ; trad. francese con aggiunte per J. L. LAGRANGE t. 2, Lyon, 

 a. 1774. sez. 2. cap. 13. p. 242-54. 



('■') Cfr. Algebra I. c. I s j. t. 2. p. 435: trad. t. 2, p. 260. 



( 10 ) Cfr. Algebra 1. c. ( 8 ), t. 2. cap. IX. 



(") Opera posthuma, ed. Fuss, Petropolis. a. 1862. t. 1. p. 221 (Fragtnenla ex adversariis deprom- 

 pla, n.° 57). 



J. L. LAGRANGE, Nouv. Mém. Acad. Berlin, t. 8 la. 7777). ed. a. 1779, p. 140; Oeuvres, t. 4, Pa- 

 ris, a. 1869, p. 377. 



I l3 j Journal math. pur. appi., s. 1, t. 18, a. 1853. p. 73. 



