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Michele Ci politi 



[Memoria XI.] 



L' esistenza d' infinite soluzioni è un corollario immediato delle forinole di Lebesgue, 

 come pure da queste comincia a delinearsi la ragione per la quale le ipotenuse dei trian- 

 goli crescono tanto rapidamente. Le forinole stesse non richiedono la conoscenza delle 

 soluzioni della (4) e tanto meno delle soluzioni della (5), ma il legame, sfuggito al Lebe- 

 sgue, tra le soluzioni della (4) e gli elementi da cui dipendono le soluzioni della CI) nelle 

 formule da lui proposte, dànno luogo ad un inconveniente che nuoce al loro uso e ne 

 rende diffìcile lo studio : le soluzioni che si ottengono non sono primitive. 



3. Noi qui in primo luogo perfezioneremo le forinole di Lebesgue rimovendo l'incon- 

 veniente accennato. Dimostreremo a tal uopo che i massimi comuni divisori che si do- 

 vrebbero calcolare per rendere primitive le soluzioni di Lebesgue, sono valori di X nelle 

 soluzioni dell' equazione (4). Risulta così manifesta 1' importanza che ha nel problema di 

 Fermat la risoluzione di quest' altra equazione, la quale può quindi ben dirsi la seconda 

 equazione fonda mentale. 



La risoluzione in numeri interi dell'equazione ( 1) sarà ricondotta alla ricerca dei punti 

 razionali della quartica 



(6) x* -[- 6.v 2 + 8x -f 5 = v-. 



Questa ricerca è intimamente connessa all'altra analoga dei punti razionali della cubica 



(7) x 3 — 2x = y 2 . 



Il problema generale della determinazione dei punti razionali' di una curva algebrica 

 f{x,y) = 0, e in particolare di una curva di genere od 1 (supposti interi i coefficienti 

 del polinomio f {x, y) ) è slato modernamente studiato a larghi tratti dal Poincaré ( 14 ), e 

 per le cubiche, con più ampi sviluppi da B. Levi ( 15 ); ma la teoria generale, anche limi- 

 tatamente alle cubiche, non ha ricevuto ancora un assetto completo e definitivo. 



Nel caso di una quartica della forma 



ax 4 + bx 3 -f ex* -f dx -\- e — y* 



la questione può, com'è noto i 16 ), affrontarsi col sussidio delle funzioni ellittiche. Nel caso 

 nostro si può far uso del metodo classico, purché opportunamente perfezionato, di dedurre 

 da un punto razionale noto della quartica (6) un secondo punto razionale. 



Per una quartica della forma indicata si suole generalmente considerare 1' ulteriore 

 intersezione della curva con la parabola tangente ad essa nel punto all' infinito (dove la 

 curva ha un tacnodo) e tritangente nel punto razionale dato. Noi modificheremo questo 

 procedimento, raggiungendo lo scopo in modo semplice e completo, considerando invece 

 la parabola che passa semplicemente, in generale, per il punto razionale dato ed ha ulte- 

 riormente al finito con la quartica una sola intersezione. 



( 14 ) H. POINCARÉ;. Journ. matti, pur. appi., s. 5, t. 7. a. 1901. p. 161. 



( ir ') Saggio per una teoria aritmetica delle forme cubiche ternarie. Atti della R. Acc. delle se di To- 

 rino, t. 41. a. 1905-Ó. p. 739 (Nota I) ; t. 43, a. 1907-8. p. 99 (Nota II), p. 413 (Nota III), p. 672 Nota IV). 



( u; ) Cfr. É. GOURSAT. Cours d'Analyse mathématique, 2 e éd., t. 2. Paris, a. 1911, p- 215-219; e cfr. 

 pure: V Intermédiaire des Matti-, Question 4732, proposée par A. GÉRARD1N, t. 24, a. 1917, p. 49, et ré- 

 ponse de G. HUMBERT. t. 25. a. 191 8. p. 18. 



